【推荐1】如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别，
则：，即：，
化简得，，
（定值）．
若O是中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为．
   
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体（下图）相应的命题，并证明你的结论．
   

【推荐2】已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点

（1）求证：面；
（2）求该几何体的体积.

【推荐3】如图，已知三棱锥中，平面底面，平面，且，．

   

(1)求三棱锥的体积；
(2)已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【推荐1】已知三棱锥中，平面，


（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）求二面角的正弦值.

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面．

（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．

【推荐3】如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O．

(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)二面角B－PC－D的平面角为θ，若．
①求PA与底面ABCD所成角的大小；
②求点N到平面CDP的距离．

【推荐1】如图，在三棱锥中，是正三角形，，，，是的中点.

(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的正弦值．

【推荐2】如图，在正三棱柱中，D是棱的中点.

(1)证明：；
(2)证明：平面.

【推荐3】如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.
   
(1)求证：；
(2)求点到侧面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.
   
(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点，且．记的中点为，若在线段上（异于、两点）．

   

(1)若点是中点，证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

【推荐3】如图，在四棱锥中，底面，，，，点为的中点．平面交侧棱于点，四边形为平行四边形．

（1）求证：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．