“让式子丢掉次数”:伯努利不等式
伯努利不等式(Bernoulli’sInequality),又称贝努利不等式,是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式,由瑞士数学家雅各布·伯努利提出:对实数,在时,有不等式成立;在时,有不等式成立.
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件;
(2)当时,对伯努利不等式进行证明;
(3)考虑对多个变量的不等式问题.已知是大于的实数(全部同号),证明
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(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件;
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更新时间:2024-03-06 14:58:22
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【推荐1】已知函数.
(1)讨论函数在内的单调性;
(2)若存在正数,对于任意的,不等式恒成立,求正实数的取值范围.
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【推荐2】已知函数.
(1)若的最小值为.求的值;
(2)若函数有两个极值点.其中为自然对数的底数.求实数的取值范围.
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(1)求的值;
(2)证明:.
(注:其中为自然对数的底数)
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【推荐2】已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)记,设,为函数图象上的两点,且.
(ⅰ)当,时,若在点处的切线相互垂直,求证:;
(ii)若在点处的切线重合,求的取值范围.
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【推荐1】已知函数,.
(1)判断函数的零点个数;
(2)比较,,的大小,并说明理由.
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【推荐2】已知数列满足,,数列的前项和为,证明:当时,
(1);
(2);
(3).
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【推荐1】三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有,则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)设,试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”,请说明理由;
(2)求所有的二次函数(用表示,使得该函数是与在区间上的“分割函数”;
(3)若,且存在实数,使得为与在区间上的“分割函数”,求的最大值.
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【推荐2】设函数的反函数为,若存在函数使得对函数定义域内的任意都有,则称函数为函数的“Inverse”函数.
(1)判断下列哪个函数是函数的“Inverse”函数并说明理由.
①;②;
(2)设函数存在反函数,证明函数存在唯一的“Inverse”函数的充要条件是函数的值域为;
(3)设函数存在反函数,函数为的一个“Inverse”函数,记,其中,若对函数定义域内的任意都有,求所有满足条件的函数的解析式.
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