【推荐1】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明：.

【推荐2】已知函数．
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)已知时，讨论函数的零点个数．

【推荐3】①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)记，；求证：.

【推荐1】已知函数，其中，e是自然对数的底数．
(1)当时，证明：对，；
(2)若函数在上存在极值，求实数a的取值范围．

【推荐2】设函数，().
（1）若在处的切线平行于直线，求实数的值；
（2）设函数，判断的零点的个数；
（3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：.

【推荐3】已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．

【推荐2】设函数，若在处的切线方程为.
，，证明：；
若任意正整数满足，求整数的最小值.

【推荐3】已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求使恒成立的最大偶数a．
(3)已知当时，总成立．令，若在的图像上有一点列，若直线的斜率为，求证：．

【推荐1】18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称夌克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
(3)已知，证明：．

【推荐2】定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.