1 . 如图，已知，请用尺规作图法在内求作一点，使点到边和的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法）

2 . 如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上．

3 . 在矩形中，已知，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，求的长．

4 . 尺规作图： 如图， 在中， ， ， 请用尺规在边 上求作一点 ， 连接 后使得 (不写作法，保留作图痕迹)

5 . 如图，正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：

(1)画出，使它与三角形关于坐标原点O成中心对称，则的坐标为_______．
(2)在（1）的条件下，仅用无刻度的直尺，作出线段的垂直平分线．
(3)将三角形绕某点旋转后，其对应点分别为，则旋转中心的坐标为_______．

6 . 如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，求的周长．

7 . 如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交，，于点P，O，Q，连接，．

   

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若F为的中点，，，求的长．

8 . 如图所示，在中，作对角线的垂直平分线，垂足为，分别交，于，连接．求证：四边形是菱形．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x、y轴于点A、B，将正比例函数的图像沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x、y轴于点C、D，交直线于点E．

(1)直接写出直线l对应的函数表达式；
(2)在直线上存在点F（不与点E重合），使，求点F的坐标；
(3)在x轴上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 几何与探究
【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．