2 . 如图，在中，．
   
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
(2)在（1）的条件下，若平分，求证：．
证明：∵为的垂直平分线，∴，
又∵，∴，
又∵平分，∴________，
在与中：
∴（________）
∴________．
又∵为的垂直平分线，
∴________．
．

3 . 阅读下列材料，并完成任务．
三角形的外心
定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．
如图1，直线，，分别是边，，的垂直平分线．
求证：直线，，相交于一点．
证明：如图2，设，相交于点，分别连接，，．
∵是的垂直平分线，
∴，（依据1）
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，（依据2）
∵是的垂直平分线，
∴点在上，（依据3）
∴直线，，相交于一点．
   
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据3”分别指什么？
(2)如图3，直线，分别是，的垂直平分线，直线，相交于点，点是的外心，交于点，交于点，分别连接，，，，．若，的周长为，求的周长．

6 . “关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
(1)如图①，是的角平分线，求证：．

   

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”．

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【理解应用】
(2)如图②，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，使点恰好落在边上的点处，落，，则的长为___________．

   

【深度思考】
(3)如图③，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，的长为___________．

   

【拓展升华】
(4)如图④，是的角平分线，若，，则的面积最大值是___________．

   

7 . 如图，在中，，为的中点，连接．

(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵，为中点，
∴________．
∵为的垂直平分线，
∴，
又∵，
，
∴________．
∴________，
∴．

8 . 【教材呈现】如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．

【尝试、感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
(1)求证：
证明：延长到点E，使
在和中
（已作）
（___________）
（___________）
∴（___________）
(2)探究得出AD的取值范围是___________；
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图3，中，，，是的中线，，且，求的长．

9 . 如图，中，，的平分线交于点．

(1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）中所作的图形中，求证：．补全下列证明过程：
证明：∵垂直平分
∴，___________①___________
∵平分
∴___________②___________
在和中，，
∴，∴___________④___________
∴

10 . 如图，在中，，平分交于点．

(1)作的垂直平分线，分别交，，于点，，连接，（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
(2)求证：（完成以下证明过程）
证明：，，
______ ，，
平分，
．
在和中，

．
_____ ，．