2 . 在中，，M是边的中点，于点H，平分．
   
(1)求证：平分；
(2)过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．

3 . 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：
绕段垂直平分线的性质定理   线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．

求证：．
你写出完整的证明过程
分析
图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．
（1）请根据所给教材内容结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（2）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，，则的周长为________．
（3）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________．

6 . 【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到，依据是__________．
A．        B．        C．        D．
(2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
(3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量有关系，并证明你的猜想；
(4)【问题拓展】如图③，中，，，是的中线，，，且．直接写出的长__________．

7 . 【教材呈现】下图是华师版数学教材八年级下册第页的部分内容

例 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点，求证：四边形是菱形. 分析 要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证.

请根据教材分析，结合图，写出完整的证明过程
证明 【结论应用】如图，直线分别交矩形的边于点，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落到点处，若，，则矩形的面积为________.

图①                                             图②

8 . 如图， 中，，
   
(1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，交于点．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)求证：．

9 . 如图，是矩形的对角线．

(1)作的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．

10 . 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图13.5．1，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有： 线段垂直平分线的性质定理       线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图13.5．1，，垂足为点，，点是直线上的任意一点．求证：． 分析   图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．

   
请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，，已知的周长为20，则的长为__________．
（2）如图③，在中，，，、分别是、上任意一点，若，，，则的最小值是__________．