名校
1 . 如图，直线
，线段
分别与直线
、
交于点
、点
，满足
．
(1)使用尺规完成基本作图：作线段
的垂直平分线交于点
，交于点
，交线段
于点
，连接
、
、
、
保留作图痕迹，不写作法，不下结论)；
(2)求证：四边形
为菱形(请补全下面的证明过程)，
证明：
，
＿＿＿＿＿＿①，
垂直平分，
，
，
＿＿＿＿＿＿②
，
＿＿＿＿＿＿③，
，
，
，四边形是 ＿＿＿＿＿＿④，
，四边形是菱形．
，线段分别与直线、交于点、点，满足．(1)使用尺规完成基本作图：作线段
的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、保留作图痕迹，不写作法，不下结论)；(2)求证：四边形
为菱形(请补全下面的证明过程)，证明：
，＿＿＿＿＿＿①，垂直平分，，，＿＿＿＿＿＿②，＿＿＿＿＿＿③，，，，四边形是 ＿＿＿＿＿＿④，，四边形是菱形．
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2023-12-16更新
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302次组卷
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4卷引用：2023年重庆市开州区书院教育集团中考一模数学试题
2023年重庆市开州区书院教育集团中考一模数学试题（已下线）专题25 尺规作图+补全证明过程（35道）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（重庆专用）重庆市沙坪坝区第八中学校2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题河南省郑州市郑州二中附属学校2023-2024学年上学期九年级第三次考试数试题
2 . 如图，在
中，
，
平分
于点M，交于点G，
平分
，交于点D，交于点F．
(1)求证：
是等腰三角形；
(2)若
，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
中，，平分于点M，交于点G，平分，交于点D，交于点F． (1)求证：
是等腰三角形；(2)若
，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
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3 . 在
中，
，
是边
的中点，
于点
，
平分
．
(1)求证：平分
；
(2)过点作的垂线交的延长线于点，
①求证：
；
②
是什么三角形？证明你的猜想．
中，，是边的中点，于点，平分． (1)求证：
平分；(2)过点
作的垂线交的延长线于点，①求证：
；②
是什么三角形？证明你的猜想．
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4 . 阅读与思考
(1)【特例呈现】
如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题．
已知：如图2，在等腰中，
，点
为中点，
于点，
于点．
求证：
．
(2)【一般探索】
在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点
的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明．
已知：在等腰中，，于点，于点， ．
求证：．
(3)【问题拓展】
小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边
所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例．
(1)【特例呈现】
如图1所示，数学活动课上，在折叠等腰三角形纸片的过程中，小明发现：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等．请利用图2证明这个命题．
已知：如图2，在等腰
中，，点为中点，于点，于点．求证：
． (2)【一般探索】
在动手操作探究过程中，小明又发现，对于任意的等腰三角形，若将“点
为中点”改为“点为三角形外部一点，满足点到等腰三角形的两顶点的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图3所示．请补全已知，并证明．已知：在等腰
中，，于点，于点， ．求证：
． (3)【问题拓展】
小明继续探究：利用已有学习经验，尝试改变条件和结论位置，提出猜想：对于平面上的一点
，若满足点到一个三角形的两顶点的距离相等，且点到边所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．小明认为这个猜想一定成立，但他的同学小强认为这个猜想不一定成立，你同意谁的想法？若同意小明的想法，请画图并说明理由；若同意小强的想法，请画出反例．
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5 . 如图，
是矩形
的对角线．
(1)作的垂直平分线
交于点E，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）所作的图形中，连接
，求证：四边形
是菱形．
是矩形的对角线．(1)作
的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；(2)在（1）所作的图形中，连接
，求证：四边形是菱形．
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6 . 如图,已知在中边的垂直平分线
与
的平分线交于点,
交
的延长线于点,
交于点
．求证:
(1)
;
(2)猜想线段
的数量关系,并进行证明．
中边的垂直平分线与的平分线交于点,交的延长线于点,交于点．求证:(1)
;(2)猜想线段
的数量关系,并进行证明．
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名校
7 . 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第
页的部分内容．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图
，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
(1)如图
，在中，直线
分别是边
的垂直平分线，直线
、
交于点，过点作
于点．求证：
．
(2)如图
，在中，
，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若
，
，则的长为______．
页的部分内容．定理证明：请根据教材中的分析，结合图
，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：
(1)如图
，在中，直线分别是边的垂直平分线，直线、交于点，过点作于点．求证：．(2)如图
，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，，则的长为______．
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8 . 在
中，
，为
中点，
，射线
、
分别交直线、于、
．
在射线上，连接
，试判断
、
、
之间的数量关系并证明；
(2)如图2，
在射线上，将
绕点逆时针旋转
．
①如图3，当射线交线段于点时，求证：
；
②当
时，若
，
，当
时，请直接写出
的长度．
中，，为中点，，射线、分别交直线、于、．
在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明；(2)如图2，
在射线上，将绕点逆时针旋转．①如图3，当射线
交线段于点时，求证：；②当
时，若，，当时，请直接写出的长度．
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2024-01-17更新
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190次组卷
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5卷引用：四川省成都市金堂县成都七中育才学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
四川省成都市金堂县成都七中育才学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题四川省成都市锦江区学道街中学（成都市七中育才学校学道分校）2023-2024学年八年级上学期期中数学试题四川省成都市锦江区师一学校2023-2024学年八年级上学期1月期末数学试题（已下线）第1章 三角形的证明（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）压轴真题必刷01 三角形的证明（压轴40题7种题型训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）
9 . 如图，过等边的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接
，将线段绕点C逆时针方向旋转
得到线段
，连接
．
(1)求证：
；
(2)连接
并延长交直线于点D，若
．判断和
的数量关系，并证明.
的顶点A作的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接，将线段绕点C逆时针方向旋转得到线段，连接．(1)求证：
；(2)连接
并延长交直线于点D，若．判断和的数量关系，并证明.
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名校
10 . 如图，在中，
．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
(2)在（1）的条件下，若平分
．求证：
，
证明：为的垂直平分线，
，
，
，
平分，
①______
在
与
中，
（②______）
③______
为的垂直平分线，
④______
．
中，．(1)尺规作图：作
的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；(2)在（1）的条件下，若
平分．求证：，证明：
为的垂直平分线，，，，平分，①______在
与中，（②______）③______为的垂直平分线，④______．
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