1 . [问题初探]
在数学活动课上，李老师给出如下问题；如图1，在中，，，垂足为B，且求证：
①如图2小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路；在上截取连接，将线段与，之间的数量关系转化为与之间的数量关系。   
②如图3，小亮同学从这个条件出发给另一种解题思路：作的垂直平分线，分别与，交于F，E两点，连接，将转化为与之间的数量关系， 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程
[类比分析]
李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在中，，过点A作 (点D与点C在同侧)，若，求证； ．

2 . 请回忆华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端钓距离相等；并给出了证明的方法．
定理证明：根据教材的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
   
（1）如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：．
（2）如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？

3 . 如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．

针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”

请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．

4 . 如图，在平行四边形中，连接．

(1)请用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点O，交于点M，交于点N（保留作图痕迹，并标上字母，不写作法）；
(2)已知：四边形是平行四边形，垂直平分线，交于点O，交于点M，交于点N．求证：．请补全下面的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ① ．
∵是的垂直平分线，
∴ ② ．
在和中，
．
∴，
∴ ④ ，
∴，
∴．

5 . 如图1，点A、D在在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，平分与y轴交于D点，，，，．

(1)求证：；
(2)如图2，点E为上一点，且，证明：；
(3)过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点，（如图3），当H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

6 . 如图，在中，，于点，在中，，于点．和的延长线交于点，连接，．

(1)求证：；
(2)若，试判断的形状，并给出证明．

7 . 如图，在中，，．于点．以为边作等边，直线交直线于点．连接交于．
   
(1)求证：：
(2)探索，，之间的数量关系，并证明你的结论．

8 . 如图，在等边三角形中，点在边上，点在边的延长线上，以为一边作等边三角形，连接．

(1)若，求证：；
(2)试探究：线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论．

9 . 如图，在四边形中，，．

(1)在图中，用尺规作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）条件下，连接，且，求证：是等边三角形．请补充图形，并完成下列证明过程．
垂直平分，
，
，
①______，
和中，，
（③______），
，
，
④______，
⑤______，
是等边三角形．