1 . 如图，在
中，
，点D是
的中点．
求证：
．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
请选择一位同学的方法，完成证明．
中，，点D是的中点． 求证：
．下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
请选择一位同学的方法，完成证明．
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2 . 先把下面直角三角形的性质和已知补充完整，再证明．
求证：直角三角形_______的中线等于斜边的一半.
已知：如图，在
中，
，点
是的中点．求证：_________．
求证：直角三角形_______的中线等于斜边的一半.
已知：如图，在
中，，点是的中点．求证：_________．
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名校
3 . 【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形
中，
，
．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【性质探究】
（1）如图1，连接筝形的对角线
、
交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中
、
的大小关系是： ．
【概念理解】
（2）如图2，在中，
，垂足为，
与
关于所在的直线对称，
与
关于所在的直线对称，延长
，
相交于点
．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，分别交、于点
、
．求证：
．
如图1，四边形
中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】
（1）如图1，连接筝形
的对角线、交于点O，试探究筝形的性质，并填空：对角线、的关系是： ；图中、的大小关系是： ．【概念理解】
（2）如图2，在
中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；【应用拓展】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，分别交、于点、．求证：．
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4 . 如图，在中，
，
于点E，BE=AE，
是
的角平分线，和
相交于点P，和
边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)判断
的形状，并证明你的结论．
中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结．(1)求证：
；(2)求证：
；(3)判断
的形状，并证明你的结论．
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5 . 某同学制作了一个简易的
形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由相互垂直的两根细棍，
组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点
在上，同时保证形分角仪的
，
两点正好落在所分角的两条边
，
上，此时
就会平分
．
为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．
已知：如图，点，分别在的边上，
经过点，__________，__________．
求证：__________．
证明：
形分角仪来二等分任意一个角．如图，该形分角仪是由相互垂直的两根细棍，组成，是的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点在上，同时保证形分角仪的，两点正好落在所分角的两条边，上，此时就会平分．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．
已知：如图，点
，分别在的边上，经过点，__________，__________．求证：__________．
证明：
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2023-07-10更新
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115次组卷
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3卷引用：福建省漳州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（北师大版B卷）
福建省漳州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（北师大版B卷）福建省漳州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题(北师大版A卷)（已下线）第05讲 逆命题和逆定理（6类题型）-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）
6 . 阅读下列材料，并完成任务．
三角形的外心
定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．
如图1，直线
，
，
分别是边，，的垂直平分线．
求证：直线，，相交于一点．
证明：如图2，设，相交于点，分别连接，，
．
∵是的垂直平分线，
∴
，（依据1）
∵是的垂直平分线，
∴
，
∴
，（依据2）
∵是的垂直平分线，
∴点在上，（依据3）
∴直线，，相交于一点．
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据3”分别指什么？
(2)如图3，直线，分别是，的垂直平分线，直线，相交于点，点是的外心，交于点，交于点
，分别连接
，
，，，．若
，
的周长为
，求
的周长．
三角形的外心
定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．
如图1，直线
，，分别是边，，的垂直平分线．求证：直线
，，相交于一点．证明：如图2，设
，相交于点，分别连接，，．∵
是的垂直平分线，∴
，（依据1）∵
是的垂直平分线，∴
，∴
，（依据2）∵
是的垂直平分线，∴点
在上，（依据3）∴直线
，，相交于一点． (1)上述证明过程中的“依据1”“依据3”分别指什么？
(2)如图3，直线
，分别是，的垂直平分线，直线，相交于点，点是的外心，交于点，交于点，分别连接，，，，．若，的周长为，求的周长．
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名校
7 . 如图，在
中，
，
，
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段
的垂直平分线，分别交
，，
于点，，(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)；
(2)在(1)问的条件下，连接
，求证：
．
请将下列证明过程补充完整．
证明：∵， ，
等腰三角形三线合一
．
是的垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
垂直平分线的定义，
垂直的定义．
在
和
中，
，
直角三角形的两个锐角互余，
等角的余角相等，
，
等量代换．
中，，， (1)用尺规完成以下基本作图：作线段
的垂直平分线，分别交，，于点，，(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)；(2)在(1)问的条件下，连接
，求证：．请将下列证明过程补充完整．
证明：∵
， ，等腰三角形三线合一．是的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，垂直平分线的定义，垂直的定义．在和中，，直角三角形的两个锐角互余， 等角的余角相等， ，等量代换．
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2023-07-02更新
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536次组卷
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2卷引用：重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
名校
8 . 如图，在中，
．
(1)尺规作图：作的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
(2)在（1）的条件下，若平分
，求证：
．
证明：∵
为的垂直平分线，∴
，
又∵，∴
，
又∵平分，∴________，
在
与
中：
∴
（________）
∴________．
又∵为的垂直平分线，
∴
________．
．
中，． (1)尺规作图：作
的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；(2)在（1）的条件下，若
平分，求证：．证明：∵
为的垂直平分线，∴，又∵
，∴，又∵
平分，∴________，在
与中：∴
（________）∴________．
又∵
为的垂直平分线，∴
________．．
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2023-09-13更新
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284次组卷
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2卷引用：重庆市九龙坡区重庆实验外国语学校2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题
名校
9 . 已知：中，，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l同侧．
(1)如图1，若
，分别过点B、C作
于点D，
于点E，求证：
；
(2)如图2，若
，
，请探究、
、之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，
的垂直平分线经过点A并交于点E，且
，请求出
的值．
中，，直线l是过点A的一条直线，点B、C在直线l同侧． (1)如图1，若
，分别过点B、C作于点D，于点E，求证：；(2)如图2，若
，，请探究、、之间的数量关系，并证明；(3)如图3，若
，的垂直平分线经过点A并交于点E，且，请求出的值．
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10 . 我们知道“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于舒边的一半”这个定理．
感知：下面是这一定理的两种证明方法，请你选择一种加以证明．
已知在中，，
，求证：
．
方法一：如图1，在上取一点，使得
，连接
．
方法二：如图2，延长到，使得
，连接．
你选择方法______；
探究：已知在中，，，利用上述定理解决三个问题：
①如图①，平分
交于点，求和的比．
结论
②如图②，
垂直平分交于点，交于点，求
和的比．
结论
③如图③，
于点，求和的比．
结论
其中错误的结论是______（填序号），请写出更正后的结论．
应用：如图3，两个全等的含有30°角的直角三角形拼成一个长方形，
于点，交于点，若
的面积是1，那么长方形的面积是______．
感知：下面是这一定理的两种证明方法，请你选择一种加以证明．
图1 图2
已知在
中，，，求证：．方法一：如图1，在
上取一点，使得，连接．方法二：如图2，延长
到，使得，连接．你选择方法______；
探究：已知在
中，，，利用上述定理解决三个问题：①如图①，
平分交于点，求和的比．结论
②如图②，
垂直平分交于点，交于点，求和的比．结论
③如图③，
于点，求和的比．结论
其中错误的结论是______（填序号），请写出更正后的结论．
应用：如图3，两个全等的含有30°角的直角三角形拼成一个长方形
，于点，交于点，若的面积是1，那么长方形的面积是______．
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