1 . 已知：如图，的顶点P在正方形的边上，，经过点C，与交于点Q．

(1)在不添加字母和辅助线的情况下，图中___________；
(2)若P为的中点，连接，求证：；
(3)若时，试探究线段与线段的数量关系，并加以证明．

2 . 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第页的部分内容．

线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点． 请写出完整的证明过程 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．

定理证明：请根据教材中的分析，结合下图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：
（1）如下图，在中，直线分别是边的垂直平分线，直线交于点，过点作于点．求证：．

（2）如下图，在中，，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若，则的长为_________．

3 . 【问题背景】
如图，是边长为6的等边三角形，点为上一动点，连接的垂直平分线分别交于，连接．
【尝试证明】
（1）如图1，若点是线段上的动点．
求证：①；
②．
【拓展升华】
（2）如图2，若点是线段延长线上的点，当时，求与的面积之比．

4 . 已知是线段垂直平分线上一动点，连接，以为边作等边三角形，点在直线的右侧，连接与直线交于点，连接，．

(1)如图1，点在线段上．
①根据题意补全图1；②求证：；
(2)如图2，点在直线的右侧，，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

5 . 在十一作业中同学们参与了“自制角分仪”的活动，下图是一个同学的作品，他将四根木条顺次钉在一起，其中，，两根木条的连接处是可以转动的．
   
同学们在一起讨论这个工具的用途．
(1)小羽说用这个工具可以快速作出角平分线．
在下面的几种用法中，能作出的平分线的有        ．（写出所有正确的序号）
   
①是的平分线②是的平分线③是的平分线
(2)对于这个工具的其它用途，小泽发现可以用它作线段的垂直平分线．
请结合右图补全求证，并给出证明．
如图，已知：，
求证：        垂直平分        ．
证明：
   
(3)对于这个工具的其它用途，小高认为通过两次操作可以用它作平行线．右图为第1次操作角分仪的摆放方式，请你在此基础上画出第2次操作的摆放方式（角分仪的对应顶点依次标记为，，，），并指明图中的一组平行线．
   

6 . 当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题．
已知，点是的中点．
   
(1)如图1，点在上，延长交于点，且，求证：；小明同学应用倍长中线的方法，延长至点，使，连接，请你帮助他写出证明过程；
(2)如图2，点在射线上，连接，延长交于点，若为的中点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点是线段的中点，垂直平分线段，在上有一动点，连接，当的周长最小时，直接写出的度数．

7 . 如图，是矩形的对角线．

(1)作的垂直平分线交于点E，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．

9 . 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图1，在中，，点是的中点，求证：．
下面是证明该问题时的一种填辅助线的方法，请完成证明．
证明：如图2，取的中点，连接．

10 . 如图1，在中，点在边上，．
   
(1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的；
(2)利用中画出的图形，求证：；
(3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明．