1 . 学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对作一个角等于已知角的两倍有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，注明其中蕴含的数学依据：
用直尺和圆规，作线段的垂直平分线分别交于点M，交于点N，连接．（只保留作图痕迹）
求证：．

证明：∵是的垂直平分线
∴ ① ，（依据：     ② ）；
∴ ③ ，（依据：等边对等角）．
∵是的外角
∴（依据： ④ ）；
∴．

6 . 学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究． 如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户． 如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同． 小山认为可以先作的平分线交于点，然后再过点作边的垂线即可，小壁思考片刻后认为小山的方法复杂了，她还有更简洁的方法就可以做到——只需要作边的垂直平分线一条辅助线即可办到． 请聪明的你根据小璧的思路完成以下作图与填空：

(1)用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，中，，，边的垂直平分线交于点，垂足为点，连接．
求证：，
证明：，
_________，
由作图可知，
，
，
垂直平分，_________，
_________，
，
_________，
．
．

8 . 在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空：

(1)已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：．
证明：∵垂直平分，
∴点是的中点．
∴_____．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵_____，
∴四边形是_____．
∴_____．
∵，
∴_____．

10 . 已知点是平面直角坐标系中一点，且．点是平面内一动点，是以为斜边的等腰直角三角形（点A、B、C逆时针排列）．

(1)直接写出点A的坐标：A        ；
(2)如图1，当点B位于x轴正半轴上时，求证：
(3)如图2，点B在第二象限内运动，，，轴于点H，点G是的中点．现在给出两个结论：①为定值；②的大小为定值，其中有且只有一个是正确的，请找出正确的结论并加以证明．