1 . 如图，在中，平分，过点D作于M，的延长线于N，且．

(1)求证：点D在的垂直平分线上；
(2)若，，求的长．

2 . 如图，已知：在中，，点为的中点，且．

(1)求的度数；
(2)点为上一点，连接并延长至，连接，过C作于，当在线段上时，若，求证．

3 . 如图，，，，垂足分别为，，下列结论成立的是（       ）
①平分；②；③平分；④垂直平分．

A．①③

B．②③

C．①②③

D．①②③④

4 . 如图，和都是等腰三角形，、分别是这两个等腰三角形的底边，且．
   
(1)求证：；
(2)如果．求证：垂直平分线段．

5 . 如图，在正五边形中，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．

(1)如图1，过点A求作此正五边形的对称轴；
(2)如图2，点M在上，且，在AE边上求作一点N，使．

8 . 如图所示，三个相同的直角三角形拼成一个四边形．
(1)写出图1中互相平行的线段：          、          、          ；

(2)如图2，若点M是线段的三等分点，点P是线段上的一个动点，画出取得最小值时点P的位置，并说明理由；

(3)如图3，若点M是直线上的一个动点，点P是线段上的一个动点．已知，求的最小值．

9 . 如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，已知，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，，连结，求的长．
   

10 . 如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．

(1)若，求证：垂直平分；
(2)若点在线段上运动．
①请判断与的数量关系，并说明理由；
②求证：平分．