1 . 综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．

教材重现：

如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．

(1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；
(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积；
(3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由．

2 . (1)如图1，在中，，点D是斜边上一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得到线段，连接．若，，求的长；
(2)如图2，在四边形中，，若，求出的长；
(3)如图3，点P为正方形的对称中心，其边长为6，点E为平面内一点，且，点Q为线段的中点，连接，直接写出的长度．

3 . 如图，在中，，，点D，E，F分别为，，的中点．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．

4 . 如图，在正方形中，，点是边上的一个动点（点不与点重合），点，分别是，的中点，则线段________．

5 . 如图，在中，，，，、分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为，则当___时，为等腰三角形．

6 . 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，．的中点为的中点为，连接．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，，求的长．

7 . 如图，在中，平分，于点，点是的中点．

             

【探究】
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，线段、、之间满足的数量关系为_________；
【初步运用】
（3）如图3，中，平分，，垂足为，过作交于点，，，则_________；
【灵活运用】
（4）如图4，中，，，点在上，，，垂足为E，与交于点，线段、之间满足的数量关系为_________．

8 . 综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．

(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．

(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．

9 . 阅读与思考：
我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形.这个平行四边形是四边形的中点四边形，也称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半，此结论可借助图1证明如下：

   

证明：如图2，连接，分别交，于点，，

   

∵，分别为，中点，
∴．
∵，分别为，中点，
∴________________（填空1）
∴________________（填空2）
∴四边形是瓦里尼翁平行四边形．
任务：
(1)填空1：________________；填空2：________________
(2)矩形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(3)菱形的瓦里尼翁平行四边形是（       ）
A.平行四边形       B.菱形       C. 矩形       D.正方形
(4)在图1中，分别连接，得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论．

   

10 . 如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（       ）

A．3

B．4

C．5

D．6