1 . 将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，其中点，，，依次在同一直线上，连接，．求证：四边形是平行四边形．

3 . 有这样一个作图题目：画一个平行四边形，使，，．
下面是小红同学设计的尺规作图过程．
作法：如图，

作线段，
以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点；
再以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点；
连接，，．
所以四边形即为所求作平行四边形．
根据小红设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
(2)完成下列证明．
证明：以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，
______，______．
以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，
∴，，
又，
，______．
四边形是平行四边形______填推理依据．

4 . 已知：是等腰直角三角形，点E在斜边所在的直线上，连接，以为腰作等腰直角三角形，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．

   

(1)如图①，当点E在线段上时，求证：；
(2)如图②，当点E在线段延长线上时，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
(3)当点E在线段延长线上时，试判断四边形的形状，并说明理由．

5 . 如图，已知四边形是矩形．延长至E使．连接分别交，于点G，F，且．

(1)过点C作，交的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形；
(2)连结，求证：．

6 . 已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)联结，分别延长、交于点，如果，求证：．

7 . 如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如图2，如果，求的余弦值．

8 . 如图（1）所示，已知在中，，在边上，点是边中点，以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接交于点．

   

(1)如果，求证：四边形为平行四边形；
(2)如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长；
(3)连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．

9 . 【问题初探】
（1）如图1，正方形中，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，请直接写出线段的长度．
【类比分析】
（2）如图2，矩形中，，，点，点在边上，连接，，将沿着直线折叠，将沿着直线折叠，点，点的对称点恰好都为点，过点作垂直于，交于点，交于点，求线段的长度．
【学以致用】
（3）如图3，四边形中，，点为四边形内部一点，连接，，，，，，．求证：．

10 . 如图，在四边形中，与交于点O，，，垂足分别为点E，F，且，．求证：四边形是平行四边形．