名校
1 . 【阅读材料】
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知
中，
，点
在边
上，点
在边
的延长线上，连接
交
于点
．
(1)如图1，若
，
，求证：点是的中点；
(2)如图2，若
，
，探究
与
之间的数量关系；
【灵活应用】如图3，是半圆
的直径，点
是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，
，
，
，当点从点
运动到点
，点运动的路径长为______，
扫过的面积为______．
教材习题 | 如图，、相交于点，是中点， ，求证：是中点． | |
问题分析 | 由条件易证 ，从而得到 ，即点是的中点 | |
方法提取 | 构造“平行 字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 | |
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知
中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点．(1)如图1，若
，，求证：点是的中点；(2)如图2，若
，，探究与之间的数量关系；【灵活应用】如图3，
是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______．
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2023-06-16更新
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539次组卷
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5卷引用：2023年江苏省扬州中学教育集团树人学校中考二模数学试题
2 . （1）如图1，已知正方形
的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿
、
方向向终点C和D运动．连接
和
，交于点P．
①猜想与的位置关系，并证明你的结论．
②求运动过程中，线段
扫过的面积．
（2）如图2，已知菱形的对角线
为
，
．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、
向终点C和A运动．连接和，交于点P．求
周长的最大值．
的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、方向向终点C和D运动．连接和，交于点P． ①猜想
与的位置关系，并证明你的结论．②求运动过程中，线段
扫过的面积．（2）如图2，已知菱形
的对角线为，．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C和A运动．连接和，交于点P．求周长的最大值．
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3 . 如图，在
中，
，的半径为4，
的长为
，则图中阴影部分的面积是（ ）
中，，的半径为4，的长为，则图中阴影部分的面积是（ ） A． | B． | C． | D． |
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解题方法
4 . 已知，在半圆中，直径
，点C，D在半圆O上运动，弦
．
(1)如图1，当
时，求证：
；
(2)如图2，若
，求图中阴影部分（弦
、直径、弧
围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到的距离的最小值是______．
中，直径，点C，D在半圆O上运动，弦． (1)如图1，当
时，求证：；(2)如图2，若
，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；(3)如图3，取
的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到的距离的最小值是______．
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5 . 如图，以为直径的半圆O交于点B，以点B为圆心，长为半径的半圆B过点A与点O，若
，则阴影部分的面积是______ ．
为直径的半圆O交于点B，以点B为圆心，长为半径的半圆B过点A与点O，若，则阴影部分的面积是
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6 . 在数学活动课中，数学学习小组对课本习题进行探究．
已知：和外一点
．你能用尺规过点作的切线．
小明的作法：
①连接
，如图
；
②分别以和点为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于
，
两点；
③作
，交于点；
④以点为圆心，
的长为半径作圆，交于，两点；
⑤作直线
，
．直线，即为的切线．
(1)请结合上述作图步骤，证明小明所作的直线为的切线．
(2)已知
，如图3，连接
，
，交于点，连接
，．
①当
_______时，四边形
是正方形；
②若
，求阴影部分的面积．
已知：
和外一点．你能用尺规过点作的切线． 小明的作法：
①连接
，如图；②分别以
和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；③作
，交于点；④以点
为圆心，的长为半径作圆，交于，两点；⑤作直线
，．直线，即为的切线．(1)请结合上述作图步骤，证明小明所作的直线为
的切线．(2)已知
，如图3，连接，，交于点，连接，． ①当
_______时，四边形是正方形；②若
，求阴影部分的面积．
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名校
7 . 如图，在扇形
中，
，点C为的中点，点D为的中点，连接，交
于点E，若
，则阴影部分的面积是______ ．
中，，点C为的中点，点D为的中点，连接，交于点E，若，则阴影部分的面积是
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2023-05-24更新
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250次组卷
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2卷引用：2023年河南省许昌市中考二模数学试题
8 . 在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？
已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕中点O旋转180°到
，设小棒扫过区域的面积为
(即图中灰色区域的面积，下同)；
方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到
，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为
．
(1)①
______，
______；(结果保留)
②比较与的大小．(参考数据：
，
．)
(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为
，求．
(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积
小于，画出示意图并说明理由．
经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．
方案1：将小棒绕
中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到
，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为． (1)①
______，______；(结果保留)②比较
与的大小．(参考数据：，．)(2)方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．
①补全方案3的示意图；
②设方案3中小棒扫过区域的面积为
，求．(3)设计方案4，使小棒扫过区域的面积
小于，画出示意图并说明理由．
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名校
9 . 如图，、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径
，则圆中阴影部分的面积为______ ．
、是中关于直径对称的两条弦，以弦、为折线将弧，弧折叠后过圆心O，若的半径，则圆中阴影部分的面积为
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名校
10 . 如图所示，，
，将扇形
绕边的中点D顺时针旋转
得到扇形
，弧
交于点E，则图中阴影部分的面积为______ ．
，，将扇形绕边的中点D顺时针旋转得到扇形，弧交于点E，则图中阴影部分的面积为
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