1 . 【问题思考】

(1)如图1，已知正方形，，分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接．
则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是_______．
【探究应用】
(2)如图2，正方形的边长为，点是射线上一动点(不与点重合)，连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接．
①当点在上时
(i)若，求的值；
(ii)若是等腰三角形，求此时的长．
②当点在的延长线上时，若，则线段的长为_______．

4 . 已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，连接．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是拋物线对称轴上一点，且点在轴上方，连接、，若，则点坐标是_______；（请直接在答题卷相应位置上写出答案）
(3)如图2，将抛物线向右平移个单位得到抛物线与线段交于点（点不与点重合），与线段交于点，连接是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 【提出问题】
如图1，在中，，，求的最小值．

【分析问题】
下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识
小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接
【解决问题】
求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路)
【深入探究】
如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是           ．
【拓展提升】
如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值．

6 . 解决几何问题时常常通过图形变换构造相似（全等）三角形等，从而快速获得解决问题的途径……
(1)如图①，在四边形中，，连接，写出、与之间的数量关系，并说明理由．

(2)如图②，是四边形的对角线．，求的值．

(3)如图③，在等腰中，，点D，E分别在边上，，点P在内，连接，，若，则的最小值是　　．

8 . 如图1，一矩形纸片，，，点P是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点A落在点E处，连接，设，．

(1)求的度数（用含的式子表示）；
(2)当P，E，C三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时m的值；
(3)当的面积为4时，求m的值；
(4)连接，若是等腰三角形，直接写出符合条件的m值的个数和其中一种情况下m的值．