1 . 【问题探究】
数学实践小组的同学利用一张宽的矩形纸片进行了如下的操作写探究：
第一步：如图1，将该矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，使点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

(1)【问题解决】
如图1，填空：四边形的形状是__________．
(2)如图2，小明连接了，E两点，发现线段写是相等的．
①请帮助小明写出证明过程；
②如图2，若，求的值．
(3)【问题延伸】如图3，若该矩形纸片的长，点Q在边上，且，P是边上的动点（不与点A，B重合）．现将纸片沿折叠，使点B，C分别落在点，处．在点P从点A向点B运动的过程中，若边与边交于点E，则点E相应运动的路径长为__________．

2 . 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，，点M从点B出发，沿着BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线PQ从点D出发，沿着DB方向匀速移动，速度为1cm/s．PQAC且分别与AD、BD、DC交于点P、N、Q；当直线PQ停止移动时，点M也停止运动，连接MQ，设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：

(1)用含t的代数式表示DQ．
(2)t为何值时，四边形AMQD是平行四边形？
(3)是否存在t，使得四边形AMQP面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作交CB的延长线于F．下列结论：①；②；③；④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36；⑤．其中正确的结论有（       ）

A．①②③④

B．①③④⑤

C．①②④⑤

D．①②③⑤

4 . 已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图1，点D在抛物线上，过点D作轴，交直线BC于点E，交x轴于点F，设点D的横坐标为m，且，求线段DE长度的最大值．
(3)如图2，设M为抛物线的顶点，，在y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在△ABC中BC<AC，∠A+∠C=60°，点D在BC上，点E在AC上，连接DE，∠ABC=∠DEC，过点B作BF⊥AC于点F．若DB=AB，则的值为（       ）

A．1

B．2

C．

D．

6 . 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以BC边的中点O为圆心，BC为半径作圆，点D是⊙O上一动点，点E是弦CD的中点，连接AE，若BC=4，AB=3，则AE+BE的最小值是______．

7 . 如图，已知二次函数的图象经过点且与x轴交于原点及点，顶点为A．

(1)求二次函数的表达式；
(2)判断的形状，试说明理由；
(3)若点P为上的动点，且的半径为，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．

8 . 某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1)发现问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，∠MAN=∠BAC，连接．求证：．
(2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，．在点运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，求的面积．

9 . 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带来我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片折叠，发现、都落在对角线上，展开得折痕、，连接，如图1

(1)______°，写出图中两个等腰三角形：_____（不需要添加字母）；
(2)转一转：将图1中绕点A旋转，使它的两边分别交边、于点、，连接，如图2，线段、、之间的数量关系为______；
(3)连接正方形对角线，如图2中的的边、分别交对角线于点、点，如图3，则______；
(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．求证：．

10 . 小杰同学在中考总复习时，遇到一个课本上的问题，温故知识后进行了操作推理与拓展应用．
（1）温故知识：如图①，在中，一个正方形的边在上，顶点P，N分别在，上，作于点D，交于点E，若，．求正方形的边长；（用含a，h的代数式表示）
（2）操作推理：如何画出这个正方形呢？
如图②，小杰画出了图①的，然后又进行以下操作：先在边上任取一点，画正方形，使点，在边上，点在内，然后连接，并延长交于点N，作于点M，交于点P，于点Q，得到四边形．证明：图②中的四边形是正方形；
（3）拓展应用：在（2）的基础上，在线段上截取，连接，（如图③），当时，请直接写出线段的长．（用含a，h的代数式表示）