1 . 已知数列
满足
，
.
(1)求的通项公式；
(2)若
，证明：
的前
项和
.
满足，.(1)求
的通项公式；(2)若
，证明：的前项和.
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 已知数列的前项积
．
(1)求的通项公式；
(2)设
，证明：
．
的前项积．(1)求
的通项公式；(2)设
，证明：．
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3 . 设数列满足
.
(1)证明：
为等差数列；
(2)若数列
的前项和为
，证明：
.
满足.(1)证明：
为等差数列；(2)若数列
的前项和为，证明：.
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4 . 正项数列满足
，
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列的前项和
.
满足，.(1)证明：数列
为等比数列；(2)求数列
的前项和.
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5 . 已知数列
的各项均为正数，
，
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，证明：当
取得最大值时，
．
的各项均为正数，，．(1)若
，证明：；(2)若
，证明：当取得最大值时，．
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6 . 若实数集
对任何
，
，均有
，则称
具有伯努利型关系.
(1)若集合
，
表示自然数集，判断
是否具有伯努利型关系；
(2)设集合
，
，若
具有伯努利型关系，求非负实数
的取值范围；
(3)设为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：
.
对任何，，均有，则称具有伯努利型关系.(1)若集合
，表示自然数集，判断是否具有伯努利型关系；(2)设集合
，，若具有伯努利型关系，求非负实数的取值范围；(3)设
为正整数，利用（2）中结论证明下面不等式：.
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7 . 若数列满足
，其中
，则称数列为
数列．已知数列为数列，当
时．
(1)求证：数列
是等差数列，并写出数列
的通项公式；
(2)
，求
．
满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时．(1)求证：数列
是等差数列，并写出数列的通项公式；(2)
，求．
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解题方法
8 . 对于数列，若存在
，使得对任意
，总有
，则称为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列，求其公比q的取值范围；
(2)若数列满足
，且
，证明：是有界变差数列；
(3)若
，
均为有界变差数列，且
，证明：
是有界变差数列．
，若存在，使得对任意，总有，则称为“有界变差数列”．(1)若各项均为正数的等比数列
为有界变差数列，求其公比q的取值范围；(2)若数列
满足，且，证明：是有界变差数列；(3)若
，均为有界变差数列，且，证明：是有界变差数列．
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9 . 已知各项均不为0的数列满足
（是正整数），
，定义函数
，
是自然对数的底数.
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数
，其中
.
（i）证明：对任意
，
；
（ii）数列满足
，设为数列的前项和.数列
的极限的严格定义为：若存在一个常数
，使得对任意给定的正实数
（不论它多么小），总存在正整数m满足：当
时，恒有
成立，则称为数列
的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记函数
，其中.（i）证明：对任意
，；（ii）数列
满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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10 . 已知等比数列的前项和为，，且
成等差数列.
(1)求
；
(2)设
，是数列的前项和，求
；
(3)设
，
是
的前项的积，求证：
（为正整数）.
的前项和为，，且成等差数列.(1)求
；(2)设
，是数列的前项和，求；(3)设
，是的前项的积，求证：（为正整数）.
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