1 . 已知向量满足.
(1)证明.
(2)求向量与夹角的余弦值.

3 . 已知向量的夹角为，且.
(1)求证：；
(2)若，且，求实数的值.

4 . 如图、在四边形中，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)若，，向量，的夹角为，，求．

5 . 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则，，两式相加得，.因为D为BC的中点，所以，于是.请用“算两次”的方法解决下列问题：

(1)如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：.
(2)如图丙，在四边形中，E，F分别在边AD，BC上，且，，，，与的夹角为，求向量与向量夹角的余弦值.

6 . 我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，，分别为，正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作.

(1)已知，求，的“广义坐标”；
(2)已知，，求；
(3)已知，，求证：的充要条件是.

7 . 如图，圆的半径为3，其中为圆上的两点.

(1)若，当为何值时，与垂直？
(2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且.证明：为定值；
(3)若的最小值为1，求的值.

8 . 设、是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：、、三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若、为单位向量，且、夹角的正弦值为，求的模.

9 . 在平面直角坐标系中，已知点．

(1)①证明：．
②证明存在点，使得，并求出的坐标．
(2)若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标．

10 . 已知向量，，且，与的夹角为，，.
(1)求证：；
(2)若与的夹角为，求的值.