1 . 若项数为的数列满足两个性质:①;②存在,使得,并记是数列的最大项,.则称数列具有性质.
(1)若,写出所有具有性质的数列;
(2)数列具有性质,若,求的最大项的最大值;
(3)数列具有性质,若,且还满足以下两条性质:(ⅰ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得;(ⅱ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得.求满足上述性质的的最小值.
(1)若,写出所有具有性质的数列;
(2)数列具有性质,若,求的最大项的最大值;
(3)数列具有性质,若,且还满足以下两条性质:(ⅰ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得;(ⅱ)对于满足的项和,在的余下的项中,总存在满足的项和,使得.求满足上述性质的的最小值.
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2 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”,第一次得到数列:第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为(其中),并记;在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”,第一次得到数列;第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为(其中),当时,记.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
(1)当时,求数列1,2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项;
(2)当时,求数列的通项公式;
(3)是否存在一个项数为的数列,记的各项和为,记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列,记各项和为,使得成立.(其中,是第二问中数列的通项公式)若存在,写出一个满足条件的的通项公式;若不存在,请说明理由.
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2024-08-24更新
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336次组卷
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3卷引用:湖北省腾云联盟2024-2025学年高三上学期8月联考数学试卷
3 . 若函数的定义域为全体正整数集合,则称:或,为数列,简记为,数列中的每一项即为.我们举个例子,古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话:一尺之锤,日取其半,万世不竭.其含义为:一根长一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程可以无限进行下去.第一天截下,第二天截下,第天截下...不难看出,数列的通项随着的无限增大而无限接近于0,那么我们就说数列的极限为0.我们定义:设为数列,为定数,若对给定的任意正数,总存在正整数,使得时有,则称数列收敛于,定数称为数列的极限,记为.
(1)已知数列,,证明:当不断增大时,的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足,且,证明:.
(3)材料:设是个实数列,对任意给定的,若存在,使得凡,且,都有,则称为“柯西列”.问题解决:定义,证明:时,不是“柯西列”,时,是“柯西列”.
(1)已知数列,,证明:当不断增大时,的值会不断趋向于黄金分割比.
(2)设数列满足,且,证明:.
(3)材料:设是个实数列,对任意给定的,若存在,使得凡,且,都有,则称为“柯西列”.问题解决:定义,证明:时,不是“柯西列”,时,是“柯西列”.
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4 . 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出,数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号,其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式:(为的质因数个数,为质数,,),例如:,对应,,,,,,.现对任意,定义莫比乌斯函数.
(1)求,;
(2)已知,记(为的质因数个数,为质数,,)的所有因数从小到大依次为,,…,.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)求的值(用()表示).
(1)求,;
(2)已知,记(为的质因数个数,为质数,,)的所有因数从小到大依次为,,…,.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)求的值(用()表示).
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解题方法
5 . 在某项投资过程中,本金为,进行了次投资后,资金为,每次投资的比例均为x(投入资金与该次投入前资金比值),投资利润率为r(所得利润与当次投入资金的比值,盈利为正,亏损为负)的概率为P,在实际问题中会有多种盈利可能(设有n种可能),记利润率为的概率为(其中),其中,由大数定律可知,当N足够大时,利润率是的次数为.
(1)假设第1次投资后的利润率为,投资后的资金记为,求与的关系式;
(2)当N足够大时,证明:(其中);
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中,记赢了的概率为,其利润率为;输了的概率为,其利润率为,求最大时x的值(用含有的代数式表达,其中).
(1)假设第1次投资后的利润率为,投资后的资金记为,求与的关系式;
(2)当N足够大时,证明:(其中);
(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中,记赢了的概率为,其利润率为;输了的概率为,其利润率为,求最大时x的值(用含有的代数式表达,其中).
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6 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知定义域为的函数满足如下条件:①对任意的,总有;②;③当,,时,恒成立.已知正项数列满足,且,,令
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求证:().
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求证:().
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8 . 在各项均为正数的数列中,,,.
(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,记数列的前n项和为.
(i)求;(ii)证明:.
(1)证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若,记数列的前n项和为.
(i)求;(ii)证明:.
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9 . 已知数列满足.
(1)若,求最小正数的值,使数列为等差数列;
(2)若,求证:;
(3)对于(2)中的数列,求证:
(1)若,求最小正数的值,使数列为等差数列;
(2)若,求证:;
(3)对于(2)中的数列,求证:
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10 . 已知数列满足,且
(1)求数列的通项公式.
(2)设,其中e是自然对数的底数,求证:
(3)设为数列的前项和,实际上,数列存在“极限”,即为:存在一个确定的实数S,使得对任意正实数u都存在正整数m满足当时,(可以证明S唯一),S称为数列的极限.试根据以上叙述求出数列的极限S.
(1)求数列的通项公式.
(2)设,其中e是自然对数的底数,求证:
(3)设为数列的前项和,实际上,数列存在“极限”,即为:存在一个确定的实数S,使得对任意正实数u都存在正整数m满足当时,(可以证明S唯一),S称为数列的极限.试根据以上叙述求出数列的极限S.
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