解题方法
1 . 若数列
每相邻三项满足
（
，且
），则称其为调和数列.
(1)若为调和数列，证明数列
是等差数列；
(2)调和数列中，
，
，前
项和为
，求证：
.
每相邻三项满足（，且），则称其为调和数列.(1)若
为调和数列，证明数列是等差数列；(2)调和数列
中，，，前项和为，求证：.
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名校
解题方法
2 . 设数列的首项
为常数
，且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．
(3)若是递增数列，求的取值范围．
的首项为常数，且．(1)证明：
是等比数列；(2)若
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．(3)若
是递增数列，求的取值范围．
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2024-01-20更新
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942次组卷
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2卷引用：上海市同济大学第一附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
2023高三·全国·专题练习
解题方法
3 . 对于给定的正整数
，若数列
满足
对任意正整数
总成立，则称数列是“
数列”．
(1)证明：等差数列是“
数列”；
(2)是否存在数列，它既是“
数列”，又是“数列”？若存在给出证明；若不存在说明理由．
，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．(1)证明：等差数列
是“数列”；(2)是否存在数列
，它既是“数列”，又是“数列”？若存在给出证明；若不存在说明理由．
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2023·全国·模拟预测
解题方法
4 . 设点
在椭圆
内，直线
.
(1)求
与
的交点个数；
(2)设
为上的动点，直线
与相交于
两点.给出下列命题：
①存在点，使得
成等差数列；
②存在点，使得
成等差数列；
③存在点，使得成等比数列；
请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题.
注：若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分.
在椭圆内，直线.(1)求
与的交点个数；(2)设
为上的动点，直线与相交于两点.给出下列命题：①存在点
，使得成等差数列；②存在点
，使得成等差数列；③存在点
，使得成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题.
注：若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分.
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5 . 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形
.带槽杆
长为
，点
，
间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有
.点
在线段
的延长线上，且
.
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点
的轨迹
的方程；
(2)过点的直线
与交于
两点.记直线
的斜率为
，证明：
为定值；
(3)过点作直线
垂直于直线，在上任取一点
，对于（2）中的两点，试证明：直线
的斜率成等差数列.
.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. (1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点
的轨迹的方程；(2)过点
的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值；(3)过点
作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中的两点，试证明：直线的斜率成等差数列.
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2023-05-13更新
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405次组卷
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2卷引用：上海市晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
解题方法
6 . 已知椭圆的右焦点为
，并且经过点
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线交C于
，交直线
于点N，记
的斜率分别为
，
，
，探索三个数
，
，
是否成等差数列，并证明你的结论．
的右焦点为，并且经过点．(1)求C的方程；
(2)过F的直线交C于
，交直线于点N，记的斜率分别为，，，探索三个数，，是否成等差数列，并证明你的结论．
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名校
解题方法
7 . 已知数列的前项和为，满足：
.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若
，数列
满足
，记
为的前项和，求证：
；
(3)在（2）的前提下，记
，数列
的前
项和为
，若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.
的前项和为，满足：.(1)求证：数列
为等差数列；(2)若
，数列满足，记为的前项和，求证：；(3)在（2）的前提下，记
，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
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2022-11-11更新
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1101次组卷
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4卷引用：上海市进才中学2023届高三上学期期中数学试题
上海市进才中学2023届高三上学期期中数学试题天津市2023届高三高考前最后一卷数学试题（已下线）高二下期中真题精选（压轴40题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
名校
解题方法
8 . 以点P为圆心的圆过点
，且与直线
相切，记点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设过点
的直线与C交于M，N两点，T是直线
上任意一点，证明：直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
，且与直线相切，记点P的轨迹为C.(1)求C的方程；
(2)设过点
的直线与C交于M，N两点，T是直线上任意一点，证明：直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
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2022-08-22更新
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300次组卷
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2卷引用：云南省昆明市五华区2023届高三上学期8月教学质量摸底检测数学试题
名校
解题方法
9 . 设函数
，
．
(1)若对任意
，都有
，求a的取值范围；
(2)设
，
．当
时，判断
，
，
是否能构成等差数列，并说明理由．
，．(1)若对任意
，都有，求a的取值范围；(2)设
，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．
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2022-06-13更新
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884次组卷
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6卷引用：2022届普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试试题
10 . 已知数列满足，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足
，证明是等差数列；
(3)证明：
.
满足，.(1)求数列
的通项公式；(2)若数列
满足，证明是等差数列；(3)证明：
.
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2022-11-12更新
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1642次组卷
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4卷引用：2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（福建卷）
2006年普通高等学校招生考试数学（理）试题（福建卷）河南省郑州市第一中学2019-2020学年高二上学期第2次测试数学试题广东省广州市协和中学2022-2023学年高二下学期2月月考数学试题（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练
