1 . 已知为各项均为正数的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项和．

2 . 在各项均为正数的等差数列中，，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，，证明：．

3 . 已知数列的首项，且.
(1)求证：是等比数列；
(2)若，当为何值时，数列的前项和取得最大值.

5 . 已知数列和满足：，，，，其中．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和．

6 . 在等差数列中，，记.求

7 . 国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束．
①求随机变量的分布列；
②证明：单调递增，且小于3．

8 . 已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设的前n项和为，求数列的前n项和．

9 . 记为数列的前项和，已知，（为正整数）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，求正整数的值.

10 . 已知等比数列的前n项和满足．
(1)求首项的值及的通项公式；
(2)设，求满足的最大正整数n的值．