1 . 如图，是抛物线：的焦点，过的直线交抛物线于，两点，点在第一象限，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．已知点在抛物线上．

(1)求抛物线的方程；
(2)设点纵坐标为，试用表示点的横坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最小值及此时点的坐标．

2 . 设P为椭圆上的一个动点，过点P作椭圆的切线与圆O：相交于M、N两点，圆O在M、N两点处的切线相交于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若P是第一象限内的点，求OPQ面积的最大值.

3 . 直线与椭圆相交于A、B两点，椭圆上的点P使△PAB的面积等于12，这样的点P共有______个.

4 . 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．

5 . 抛物线的焦点为F，P在抛物线C上，O是坐标原点，当与x轴垂直时，的面积为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B都在抛物线C上，且，过坐标原点O作直线的垂线，垂足是G，求动点G的轨迹方程.

6 . 已知点P是双曲线E：的右支上一点，、为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法：①点P的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为，其中正确的是______．

7 . 已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的一点，
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，右焦点F，若经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且的面积之比为，求直线l的方程．