1 . 已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．

2 . 已知双曲线的右焦点为，双曲线的上焦点为，直线，且既是的渐近线也是的渐近线．
(1)求的方程；
(2)过作与轴不垂直的直线与的右支交于点，若点在轴上，且，求证：为定值，并求出该定值．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，在椭圆上，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于P，Q两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值.

6 . 已知椭圆 点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足. .记直线 PQ，AQ，AP 的斜率分别为，，.且满足.
(1)证明:
(2)求椭圆E 的离心率；
(3)若，求面积的最大值.

7 . 已知曲线上的点满足，曲线过点的切线与直线相交于点.
(1)求曲线的标准方程；
(2)以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

8 . 已知点，分别为椭圆：的左顶点和右焦点（椭圆的左顶点，右焦点．），直线过点且交椭圆于P，Q两点，设直线，的斜率分别为，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由．

9 . 已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

10 . 已知动圆M经过定点，且与圆内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.