1 . 若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数是__．

2 . 设集合，若非空集合同时满足：①，②，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为______.

3 . 设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；
②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；
③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；
④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（       ）

A．②

B．①③

C．②④

D．②③

4 . 求已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素都有则称集合有性质．
(1)判断集合是否具有性质；
(2)若集合具有性质．
①求证：的最大值大于等于；
②求的元素个数的最大值．

5 . 设集合中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意，若，都有；
②对于任意，若，则．
(1)分别对和，求出对应的；
(2)如果当S中恰有三个元素时，中恰有4个元素，证明：S中最小的元素是1；
(3)如果S恰有4个元素，求的元素个数．

7 . 在整数集中，把被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断不正确的是（       ）

A．	B．
C．	D．若，则整数a、b属于同一“类”．

8 . 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有.

9 . 已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则______.

10 . 给定集合和，定义运算“”：，若，，则集合的所有子集的元素之和为_________.