1 . 是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为________．

2 . 已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．

3 . 集合A为非空数集，定义：，．
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值．

4 . 设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题：
①若具有性质，则可以是有限集；
②若具有性质，且，则具有性质；
③若、具有性质，且，则具有性质；
④若、具有性质，则具有性质.
其中所有真命题的序号是______.

5 . 非空集合具有下列性质：①若，，则；②若，，则，下列判断一定成立的序号是___________.
（1）       （2）       （3）若，，则       （4）若，、则

7 . 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（       ）
   

A．已知，则

B．已知或，则或

C．如果，那么

D．已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则

8 . 设集合为正整数，记为同时满足下列条件的集合的个数：①，②若，则，③若，则，则______

9 . 对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合.
(1)若，直接写出集合和；
(2)若，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）；
(3)若和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由.