1 . 已知数列，满足，，且对任意，有，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列满足，试求的通项公式并判断：是否存在正整数，使得对任意，恒成立.

2 . 已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 设正项数列的前项和为，，，则______________．

4 . 已知数列满足，．
（Ⅰ）若，求证：对一切的，，都有；
（Ⅱ）若，记，求证：数列的前项和；
（Ⅲ）若，求证：．

5 . 设数列的前项和为，且．
（1）若，求；
（2）若数列为递增数列，求实数的取值范围．

6 . 数列满足：，，且，，成等差数列，其中.
（1）求实数的值及数列的通项公式；
（2）若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.

7 . 已知数列的前项和，函数对一切实数总有，数列满足
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围.

8 . 已知正项数列的前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数是（        ）
①；        ②当为奇数时，；        ③

A．0

B．1

C．2

D．3

9 . 某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.
（1）求第年的预计投入资金与出售产品的收入；
（2）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）

10 . 已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .