1 . 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设直线与椭圆交于不同两点，且，证明:总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程.

3 . 已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)．证明:直线与直线的交点的横坐标是定值．

4 . 已知抛物线：（），直线：与抛物线交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为上的一点，，为上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线过定点并求出定点的坐标．

5 . 已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.

6 . 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程;
（2）设曲线与轴的两个交点分别为为直线上的动点，且不在轴上，，与的另一个交点为，，与的另一个交点为，证明: 的周长为定值.

7 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：.

8 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.

9 . 已知函数，其中.
（1）求的单调区间；
（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；
（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求△F₁MF₂的面积．