1 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.

2 . 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意，均有，求的值；
（3）假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为，若其次投篮全部命中的概率为，证明：.

4 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称，证明直线过定点，并求出该定点的坐标．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足
（1）求椭圆的标准方程;
（2）设直线与椭圆交于不同两点，且，证明:总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程.

6 . 已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当的面积最大时，恰好为等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的动直线过点，且与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，那么，是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.

7 . 平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.关于原点的对称点为，圆的半径等于，以为圆心的动圆过且与圆相切.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程；
（2）四边形内接于曲线，点分别在轴正半轴和轴正半轴上，设直线的斜率分别是，且.
（i）记直线的交点为，证明：点在定直线上；
（ii）证明：.

8 . 已知函数.
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，且.证明：.

9 . 已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.

10 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：.