1 . 已知椭圆的离心率为分别是它的左、右顶点，是它的右焦点，过点作直线与交于(异于)两点，当轴时，的面积为.
（1）求的标准方程;
（2）设直线与直线交于点，求证:点在定直线上.

2 . 已知函数（）.
（1）当时，证明：；
（2）若有且仅有两个零点，，求实数的取值范围，并证明.

3 . 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在有零点，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）．

4 . 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若且，证明：，．

5 . 已知点、分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为，点P是以坐标原点O为圆心的单位圆上的一点，且．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的直线l（不过焦点）交椭圆于M，N两点，若x轴上任意一点到直线与的距离均相等，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 椭圆：的左右焦点分别为、，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点作两条相互垂直的直线、，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，求证：四边形的内切圆半径为定值．

7 . 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作C的切线，交点为P.
（i）证明：；
（ii）若直线FP交C于M，N两点(M在线段FP上)，求四边形面积的最小值.

8 . 已知三点，为曲线上任意一点，满足．
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，为曲线上的不同两点，且，，为垂足，证明：存在定点，使为定值．

9 . 已知函数，，且曲线和在原点处有相同的切线．
（1）求实数的值，并证明：当时，；
（2）令，且，证明：．

10 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，点与点关于轴对称，证明直线过定点，并求出该定点的坐标．