1 . 已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，求证：.

2 . 已知函数
(1)当时，证明：；
(2)已知在上恒成立，求的取值范围.

3 . 已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设方程有且仅有两个不同的解，求证：．

4 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若且，证明：．

5 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：

6 . 已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.

7 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
(1)求的标准方程；
(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．

8 . 已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.

9 . 已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为，O为坐标原点，线段OA的中点为D，且.
(1)求C的方程；
(2)已知点M、N均在直线上，以MN为直径的圆经过O点，圆心为点T，直线AM、AN分别交椭圆C于另一点P、Q，证明直线PQ与直线OT垂直.

10 . 已知函数，.
(1)当时，证明函数有两个零点；
(2)若函数有唯一极值点，求k的取值范围.