真题
1 . 记
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”.
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”.
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2 . 设,已知函数的解析为.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)证明当时函数至多有两个零点;
(3)如果函数有3个不同的零点,分别设为、、,求实数a的取值范围;如果,进一步证明存在唯一的实数a,使得、、成等差数列.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)证明当时函数至多有两个零点;
(3)如果函数有3个不同的零点,分别设为、、,求实数a的取值范围;如果,进一步证明存在唯一的实数a,使得、、成等差数列.
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3 . 如图所示(省略y轴),设P是函数图像上的一点,是曲线在点P处的切线.若存在点P和,使得曲线在P、处的切线相互垂直,则称曲线上存在以P、为端点的直角弯,简称直角弯.(1)设,,横坐标为的点P是曲线上一点,求以点P为端点的直角弯的另一个端点的坐标;
(2)设,,试问曲线上是否存在直角弯?若存在,求出端点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)数学建模社研究车辆转弯时,欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度,并满足假设:直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大.设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、,社员想用(记作①)或(记作②)其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”.请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感,帮社员们做出决定(将①或②填在答题纸相应位置,无需说明理由);
(4)设,,“平均弯曲率”如(3)中定义,求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值.
(2)设,,试问曲线上是否存在直角弯?若存在,求出端点横坐标的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)数学建模社研究车辆转弯时,欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度,并满足假设:直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大.设曲线上直角弯端点P、的横坐标分别为、,社员想用(记作①)或(记作②)其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率”.请根据圆内半径不同的圆中直角弯的直观感,帮社员们做出决定(将①或②填在答题纸相应位置,无需说明理由);
(4)设,,“平均弯曲率”如(3)中定义,求曲线上所有直角弯“平均弯曲率”的最大值.
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解题方法
4 . 若函数的导函数是以为周期的函数,则称函数具有“T性质”.
(1)试判断函数和是否具有“性质”,并说明理由;
(2)已知函数,其中具有“性质”,求函数在上的极小值点;
(3)若函数具有“性质”,且存在实数使得对任意都有成立,求证:为周期函数.
(可用结论:若函数的导函数满足,则(常数).
(1)试判断函数和是否具有“性质”,并说明理由;
(2)已知函数,其中具有“性质”,求函数在上的极小值点;
(3)若函数具有“性质”,且存在实数使得对任意都有成立,求证:为周期函数.
(可用结论:若函数的导函数满足,则(常数).
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5 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若的极大值为,求的值;
(3)当时,若,使得,求的取值范围.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若的极大值为,求的值;
(3)当时,若,使得,求的取值范围.
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2024-07-09更新
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239次组卷
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2卷引用:上海市松江二中2025届高三上学期开学考试数学试卷
名校
6 . 已知函数,.
(1)若直线是曲线在处的切线,求的表达式;
(2)若任意且,有恒成立,求符合要求的数对组成的集合;
(3)当时,方程在区间上恰有1个解,求k的取值范围.
(1)若直线是曲线在处的切线,求的表达式;
(2)若任意且,有恒成立,求符合要求的数对组成的集合;
(3)当时,方程在区间上恰有1个解,求k的取值范围.
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7 . 对于函数的导函数,若在其定义域内存在实数和t,使得成立,则称是“卓然”函数,并称t是的“卓然值”.
(1)试分别判断函数,和,是不是“卓然”函数?并说明理由;
(2)若是“卓然”函数,且“卓然值”为2,求实数m的取值范围;
(3)证明:是“卓然”函数,并求出该函数“卓然值”的取值范围.
(1)试分别判断函数,和,是不是“卓然”函数?并说明理由;
(2)若是“卓然”函数,且“卓然值”为2,求实数m的取值范围;
(3)证明:是“卓然”函数,并求出该函数“卓然值”的取值范围.
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8 . 若定义在上的函数和分别存在导函数和.且对任意均有,则称函数是函数的“导控函数”.我们将满足方程的称为“导控点”.
(1)试问函数是否为函数的“导控函数”?
(2)若函数是函数的“导控函数”,且函数是函数的“导控函数”,求出所有的“导控点”;
(3)若,函数为偶函数,函数是函数的“导控函数”,求证:“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”.
(1)试问函数是否为函数的“导控函数”?
(2)若函数是函数的“导控函数”,且函数是函数的“导控函数”,求出所有的“导控点”;
(3)若,函数为偶函数,函数是函数的“导控函数”,求证:“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”.
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9 . 对于函数的导函数,若在其定义域内存在实数,,使得成立,则称是“跃点”函数,并称是函数的“跃点”.
(1)若,,求证:是“3跃点”函数;
(2)若是定义在是的“1跃点”函数,且在其定义域上有两个不同的“1跃点”,求实数的范围;
(3)若,是“1跃点”函数,且在其定义域内恰存在一个“1跃点”,求实数的范围.
(1)若,,求证:是“3跃点”函数;
(2)若是定义在是的“1跃点”函数,且在其定义域上有两个不同的“1跃点”,求实数的范围;
(3)若,是“1跃点”函数,且在其定义域内恰存在一个“1跃点”,求实数的范围.
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名校
10 . 若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点(其中,),则称l为曲线C的“”.
(1)若曲线在点处的切线为,另一个公共点的坐标为,求的值;
(2)求曲线所有的方程;
(3)设,是否存在,使得曲线在点处的切线为?若存在,探究满足条件的t的个数,若不存在,说明理由.
(1)若曲线在点处的切线为,另一个公共点的坐标为,求的值;
(2)求曲线所有的方程;
(3)设,是否存在,使得曲线在点处的切线为?若存在,探究满足条件的t的个数,若不存在,说明理由.
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2024-05-24更新
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600次组卷
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4卷引用:上海市七宝中学2024届高三三模考试数学试题(1)
上海市七宝中学2024届高三三模考试数学试题(1)(已下线)专题05导数及其应用全章复习攻略--高二期末考点大串讲(沪教版2020选修)(已下线)专题2 函数与导数新定义压轴大题(一)【讲】江苏省徐州市鼓楼区徐州市第三中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题