1 . 在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若
在包含
的某个开区间
中具有
阶导数，设
表示的
阶导数.则对
有
.其中
，
是位于与
之间的某个值，它称为阶泰勒余项.
叫做在
处的阶泰勒多项式.
(1)求
在
处的1阶泰勒多项式
和2阶泰勒多项式
，并证明：当
时，
；
(2)整数
.定义数列
.设e为自然对数的底数.
（i）求证：
；
（ii）求证：
.
在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.(1)求
在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；(2)整数
.定义数列.设e为自然对数的底数. （i）求证：
；（ii）求证：
.
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2 . 我们定义
的函数使得在
上，
证明：
，当且仅当
.
过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设
，
，
．得到
关于
，
的表达式（提示：
，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．
的函数使得在上，证明：，当且仅当.过程提示（若不按本过程，证明成功亦为满分）：设
，，．得到关于，的表达式（提示：，利用递推式得到矛盾，由此证明原命题．
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3 . 如图，点
，复数
可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，
轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数
都可以表示成
的形式，即
其中
为复数
的模，
叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，
所在射线为终边的角），我们规定
范围内的辐角的值为辐角的主值，记作
叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：
．棣莫佛提出了公式：
，其中
.
，求
的三角形式；
(2)已知
为定值，
，将复数
化为三角形式；
(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为
，求复数
所对应不同点的个数．
，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.
，求的三角形式；(2)已知
为定值，，将复数化为三角形式；(3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为
，求复数所对应不同点的个数．
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4 . 
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5 . 如果
和
除以
所得余数相同，则称
对模
同余，记作
，
若集合
，集合
，现从集合
中的
个数中可以抽出
个数，
（
）且
，使这个数平均分为
组，若存在一组数对
(三者不相等）且满足恰好能被
整除，
对模
同余，则
为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”
(1)判断
为“灵魂莲华集合”
(2)若
，判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数
，若
构成公差为8的等差数列，求证：无论
且
为任何集合，最多有一对满足条件的
为灵魂莲华数对．
和除以所得余数相同，则称对模同余，记作，若集合
，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数，（
）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”(1)判断
为“灵魂莲华集合”(2)若
，判断有多少组数对为灵魂莲华数对(3)现从素数集合
中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对．
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6 . 已知正整数
满足
，正整数
满足
，
.对于确定的正整数，记
的最小值为
.例如：当
时，
或
或
.
(1)当
时，写出的所有值及
的值；
(2)探究
的值；
(3)证明：
.
满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或.(1)当
时，写出的所有值及的值；(2)探究
的值；(3)证明：
.
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7 . “割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设
，圆
的外切和内接正
边形的周长分别为
和
，其中
.
(1)若的半径为1，求的外切正
边形的面积；
(2)证明：
；
(3)设
，证明：
.
，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中.(1)若
的半径为1，求的外切正边形的面积；(2)证明：
；(3)设
，证明：.
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解题方法
8 . 任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即
，其中
为虚数单位，
，
，
，
.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：
，
，则
，
，且
.若令
，则能导出复数乘方公式：
.请用以上知识解决以下问题：
(1)试将
写成三角形式；
(2)已知
，
，
，求
的值；
(3)设，，
，当
时，求
的最大值和最小值.
的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题：(1)试将
写成三角形式；(2)已知
，，，求的值；(3)设
，，，当时，求的最大值和最小值.
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9 . 约数，又称因数，它的定义如下：若整数除以整数
除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.
设正整数有个正约数，即为
.
(1)当
时，是否存在
构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；
(2)当
时，若
构成等比数列，求正整数；
(3)当时，若是的所有正约数的一个排列，那么
，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数
有个正约数，即为.(1)当
时，是否存在构成等比数列，若存在，请写出至少3个满足条件的正整数的值，若不存在，请说明理由；(2)当
时，若构成等比数列，求正整数；(3)当
时，若是的所有正约数的一个排列，那么，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
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表示正整数a，b的最大公约数.若
，且
，则将k的最大值记为
，例如：
;
，数列 
的前n项和为 
证明： 
