1 . 已知双曲线的焦距为8,右焦点为,直线与双曲线在一、三象限的交点分别为,且.
(1)求双曲线的方程及的面积;
(2)直线与双曲线交于两点,若直线与轴分别交于点,且.证明:为定值.
(1)求双曲线的方程及的面积;
(2)直线与双曲线交于两点,若直线与轴分别交于点,且.证明:为定值.
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名校
2 . 在三棱柱中,侧面平面,,侧面为菱形,且为中点.(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
(2)求二面角的余弦值.
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3 . 定义:在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如:数列经过第一次“和扩充”后得到数列;第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为,所有项的和为.
(1)若,求;
(2)求不等式的解集;
(3)是否存在数列,使得数列为等比数列?请说明理由.
(1)若,求;
(2)求不等式的解集;
(3)是否存在数列,使得数列为等比数列?请说明理由.
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名校
4 . 为增加学生对于篮球运动的兴趣,学校举办趣味投篮比赛,第一轮比赛的规则为:选手需要在距离罚球线1米,2米,3米的三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得10分;在处投进,且在两处至少有一处未投进得7分;其余情况(包括三处均不投进)保底得4分.已知小王在三处的投篮命中率分别为,且在三处的投篮相互独立.
(1)设为小王同学在第一轮比赛的得分,求的分布列和期望;
(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1:按第一轮比赛规则进行比赛;方法2:选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米,但得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后,投篮命中率会增加.请你根据统计知识,帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好.
(1)设为小王同学在第一轮比赛的得分,求的分布列和期望;
(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1:按第一轮比赛规则进行比赛;方法2:选手可以选择在处缩短投篮距离0.5米,但得分会减少分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在处缩短投篮距离0.5米后,投篮命中率会增加.请你根据统计知识,帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好.
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5 . 已知函数的图象在点处的切线过点.
(1)求实数的值;
(2)求的单调区间和极值.
(1)求实数的值;
(2)求的单调区间和极值.
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名校
解题方法
6 . 2024年世界羽联赛已经开始,同时,也是奥运年,4年一度最精彩赛事即将来临!为了激发同学们的奥运精神,某校组织同学们参加羽毛球比赛,若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛,采用五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以的比分获胜的概率;
(2)设表示比赛结束时进行的总局数,求的分布列及数学期望.
(1)求甲以的比分获胜的概率;
(2)设表示比赛结束时进行的总局数,求的分布列及数学期望.
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名校
7 . 今年是中国共产党建党103周年,为庆祝中国共产党成立103周年,某高中决定开展“学党史,知奋进”党史知识竞赛活动,为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系,在全校随机选取了选修历史和不选修历史各50人作为样本,设事件“获奖”,“选修历史”,据统计,.统计100名学生的获奖情况后得到如下列联表:
参考公式:,
(1)完成上面列联表,并依据的独立性检验,能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”;(结果保留三位小数)
(2)从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”,在某次活动中,从这6名学生中随机选取3人为宣讲员,求男生宣讲员人数的分布列和数学期望.
获奖 | 没有获奖 | 合计 | |
选修历史 | |||
没有选修历史 | |||
合计 |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)完成上面列联表,并依据的独立性检验,能否有把握推断认为“党史知识竞赛获奖与选修历史学科有关”;(结果保留三位小数)
(2)从选历史且获奖的学生中选取2名男生和4名女生组成“学党史、知奋进宣讲团”,在某次活动中,从这6名学生中随机选取3人为宣讲员,求男生宣讲员人数的分布列和数学期望.
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8 . 已知等差数列,满足,,正项数列的前项和为,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求
(3)在,之间插入1个数,使成等差数列,在,之间插入2个数,,使成等差数列,;在,之间插入个数,使成等差数列.
①求;
②求.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求
(3)在,之间插入1个数,使成等差数列,在,之间插入2个数,,使成等差数列,;在,之间插入个数,使成等差数列.
①求;
②求.
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9 . 如图,在四棱锥中,平面ABCD,四边形ABCD为正方形,,F,E分别是PB,PC的中点.(1)证明:;
(2)求平面ADEF与平面PCD的夹角.
(2)求平面ADEF与平面PCD的夹角.
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名校
10 . 如图,在圆锥中,P是圆锥的顶点,O是圆锥底面圆的圆心,是圆锥底面圆的直径,等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形,是圆锥母线的中点,,.(1)求证:平面;
(2)设线段与交于点,求直线与平面所成角的正弦值.
(2)设线段与交于点,求直线与平面所成角的正弦值.
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