1 . 已知抛物线C：（）的焦点为F，其准线与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，（，，）两点．
(1)若直线的斜率为1，且，，求抛物线C的方程；
(2)若M是线段的中点，求直线的方程（用含常数p的式子表示）．

2 . 已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.

3 . 已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．
(1)求E的方程；
(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

4 . 已知抛物线E：的焦点为F，直线与E相交所得线段的长为．
(1)求E的方程；
(2)若不过点F的直线l与E相交于A，B两点，请从①AB中点的纵坐标为3，②的重心在直线上，③这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 已知抛物线的焦点为，直线，当时，与相切．
(1)求的值；
(2)若交于，两点，点是上一点，的重心为，求的值．

6 . 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.
(1)求该抛物线的方程；
(2)为坐标原点，求的面积.

7 . 已知抛物线C：上的一点M（，4）到C的焦点F的距离为5.
(1)求p的值；
(2)若，点A，B在抛物线C上，且，N为垂足，当|MN|最大时，求直线AB的方程.

8 . 一条直线与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若，且点O在AB上的射影为，求抛物线的方程．

9 . 已知抛物线的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在过焦点F的直线，使得与抛物线和圆顺次交于A、B、C、D四点，并且、、满足？若存在，求出直线的方程．

10 . 已知平面直角坐标系中，点到抛物线准线的距离等于5，椭圆的离心率为，且过点

(1)求的方程；
(2)如图，过点作椭圆的切线交于两点，在轴上取点，使得，试解决以下问题：
①证明：点与点关于原点中心对称；
②若已知的面积是椭圆四个顶点所围成菱形面积的16倍，求切线的方程.