1 . 已知直线过椭圆的一个顶点和一个焦点.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线l与C交于，两点，且，求直线l的方程.

2 . 已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．

3 . 已知椭圆：的右焦点在直线上，分别为的左、右顶点，且.
(1)求的标准方程；
(2)已知，是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于-1?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

4 . 设椭圆的上顶点为，下顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)设过点的直线交椭圆于，两点（不同于，两点），试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，M为椭圆C上的一个动点，且点M到右焦点距离的最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当的面积最大时，求此时直线l的方程．

6 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.
①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.

7 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．

8 . 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为A．
(1)求点A的坐标；
(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点（均与A，不重合），过点与轴垂直的直线分别交直线，于点，，证明：点，关于轴对称．

9 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条直线分别交椭圆于点，满足直线，的斜率之和为，求证：直线过定点.

10 . 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的中心O关于直线 的对称点落在直线上；
（1）求椭圆C：的方程；
（2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点，求直线斜率的取值范围；
（3）证明直线与轴相交于定点．