1 . 已知椭圆：的短轴长为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，且，求直线的方程．

2 . 已知椭圆C：（）的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆C经过点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设A是椭圆C的右顶点，P，Q是椭圆C上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过A作，垂足为B，试问是否存在定点M，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，四边形的面积为，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，连接，若直线的一个方向向量为，求的面积．

4 . 已知椭圆的左，右焦点分别为.点在上，，的周长为，面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设的左，右顶点分别为，过点且斜率不为0的直线与交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，__________（从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答）.
①求直线和交点的轨迹方程；
②是否存在实常数，使得恒成立；
③过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点.
（注：若选多个问题分别解答，按第一个解答计分）

5 . 在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.

6 . 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆恰好过原点，求直线的方程.

7 . 椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知过右焦点的直线与交于两点，在轴上是否存在一个定点，使？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

9 . 已知直线，与双曲线的左支交于A，B两点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的面积为（O为坐标原点），求此时直线的斜率的值.

10 . 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆C相交于两点，且，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作与直线平行的直线与椭圆相交于两点，直线与的斜率分别为，求．