1 . 小明在学习矩形时发现：在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点，若，则平分.他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空.
   

(1)用直尺和圆规，过点作的垂线交于点；（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在矩形中，点是边上一点，过点作交边于点.求证：平分；
证明：四边形是矩形，
，
①_________________.
，
，
，
②_________________.
又，③_________________，
④_________________.
.
又，
，
.
⑤_________________，
.
.
平分.

2 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.

3 . 已知等边和等腰，，.

（1）如图①，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，求证：；
（2）如图②，点D在内部，点E在外部，P是BE的中点，连接AD､PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，若点D在内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且为定值，当PD最大时，请直接写出的度数.

4 . 已知在与中，与在直线的同侧，，直线与直线交于.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：.

5 . 为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的. “生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%. 记事件为“前k人中没有人生日相同”，其中.
(1)证明：；
(2)直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于.
附：，.

6 . 研究表明，学生的学习成绩y（分）与每天投入的课后学习时间x（分钟）有较强的线性相关性．某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间，收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科（满分100分）所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据，下图是该小组制作的原始数据与统计图（散点图）．

月次	1	2	3	4	5	6	7	8	9
某科课后投入时间（分钟）	20	25	30	35	40	45	50	55	60
高三（1）班某科平均分（分）	65	68	75	72	73	73	73	73．5	73

   
(1)当时，该小组建立了与的线性回归模型，求其经验回归方程；
(2)当时，由图中观察到，第3个月的数据点明显偏离回归直线，若剔除第3个月数据点后，用余下的4个散点做线性回归分析，得到新回归直线，证明：；
(3)当时，该小组确定了与满足的线性回归方程为：，该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟，请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性．
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

7 . 如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．

(1)求证：平面ACDE；
(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值；
(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．

8 . 在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．

(1)若，证明：；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．

9 . 已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质．
(1)已知，判断是否满足性质，并说明理由；
(2)若满足性质，且定义域为．
已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由；
若在上单调递增，判定并证明在上的单调性．

10 . 如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线，延长至点使得为的中点,连接,构成三棱锥.

(1)证明:;
(2)当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角.