1 . 设坐标平面上全部向量集合为，已知由到的对应关系由确定，其中.
(1)当取值范围变化时，是否变化？试证明你的结论；
(2)若，，且与垂直，求向量，的夹角.

2 . 为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设，，O为底面ABCD的中心，正四棱柱与正四棱柱分别代表电梯井与电梯厢，设，M为棱的中点，N，K分别为棱，上的点，，．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO₂的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面与平面重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．

3 . 在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

4 . （1）如图，平行四边形中，对角线与交于点，为平面内任意一点. 求证：

（ⅰ）；
（ⅱ）；
（2）矩形中，为平面内任意一点.求证：；
（3）在平面上，，，.若，求的取值范围.

5 . 如图，以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结交小圆于点B．设直线是小圆的切线．

(1)证明，并求直线与y轴的交点M的坐标；
(2)设直线交椭圆于P、Q两点，证明：．

6 . 如图所示的几何体中，平面平面，是上的点（不与端点重合），为上的点，为的中点.

(1)若为的中点，.
（i）求证：平面；
（ii）求点到平面的距离.
(2)若平面与平面所成角（锐角）的余弦值为，试确定点在上的位置.

7 . 已知和均为等差数列，，，，记，，…，（n=1，2，3，…），其中， ，，表示，，，这个数中最大的数．
(1)计算，，，猜想数列的通项公式并证明；
(2)设数列的前n项和为，若对任意恒成立，求偶数m的值．

8 . 已知.
（1）若函数，求的单调区间;
（2）若过点能作函数的两条切线，求实数的取值范围;
（3）设，且，求证:

9 . 已知是各项都为整数的等比数列，是等差数列，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设表示数列的前项乘积，即，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）若数列的前项和为，且，求证：.

10 . 已知函数．
（1），求函数的最大值；
（2）若恒成立，求的取值集合；
（3）令，过点作曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证点一定在第一象限内．