1 . 已知函数．
(1)当时，证明：只有一个零点．
(2)若，求的取值范围．

2 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：.

3 . 已知函数，其中且．
(1)求的值，判断的奇偶性并证明；
(2)函数有零点，求的取值范围．

4 . 如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.

   

(1)证明：∥平面；
(2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.

5 . 已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线（不经过点）交椭圆于点，，若直线与直线的斜率之和为，求证过定点．

6 . 在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
设椭圆C：（）的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与x轴交于点N，求证：为定值.

7 . 已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）过定点的直线与椭圆交于两点.（线不经过点），直线，的斜率为，，求证：为定值.

8 . 如图，在直三棱柱ABC-­A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，BB₁＝BC＝6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E­-BCD的体积．