1 . 已知，函数．
(1)证明存在唯一极大值点；
(2)若存在，使得对任意成立，求的取值范围．

2 . 若数列满足，则称为“螺旋递增数列”．
（1）设数列是“螺旋递增数列”，且，，求；
（2）设数列是“螺旋递增数列”，其前项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；
（3）设数列是“螺旋上升数列”，且，，记数列的项和为．问是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．

（1）若直线过原点，求证：为定值；
（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．

4 . 如图所示，椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l₁，l₂，且l₁与椭圆交于不同两点A，B，l₂与椭圆交于不同两点D，C.

(1) 求椭圆M的方程；
(2) 证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；
(3) 求线段AC长的取值范围．

5 . 已知数列满足，且.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）是否存在实数，，使得，对任意正整数恒成立？若存在，求出实数、的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

6 . 已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有．
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列．

7 . 记，其中为函数的导数若对于，，则称函数为D上的凸函数．
求证：函数是定义域上的凸函数；
已知函数，为上的凸函数．
求实数a的取值范围；
求函数，的最小值．

8 . 已知（且，）.
（1）设，求中含项的系数；
（2）化简：；
（3）证明：.

9 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．

10 . 已知数列满足：，
证明：当时，
（I）；
（II）；
（III）.