1 . 在锐角中，，点O为的外心．
(1)若，求的最大值；
(2)若．
①求证：；
②求的取值范围．

2 . 设，函数．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)在（1）的结论下，若，求证：．

3 . 已知函数，，已知是函数的极值点．
(1)求曲线在处的切线方程，并判断函数的零点个数；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设函数．证明：．

4 . 已知函数，，与在处的切线相同．
(1)求实数a的值；
(2)令，若存在，使得，
（i）求的取值范围；
（ii）求证: .

5 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上.

7 . 已知函数．
(1)记函数，当时，讨论函数的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，证明：（为自然对数的底数）．

8 . 已知函数.
(1)证明：当 时， ；
(2)若 ，求a.

9 . 如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.

(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.

10 . 已知函数其中.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，函数有两个零点，，满足，
证明.