1 . 校乒乓球锦标赛共有
位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有
场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生
名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中
最好，
次之，…，
最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且
，当
与
比赛时，
获胜的概率为p，其中
(1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率.
(2)证明：
，为总冠军的概率大于
为总冠军的概率.
位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军.实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中最好，次之，…，最差.假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且，当与比赛时，获胜的概率为p，其中(1)求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员
与之间进行的概率.(2)证明：
，为总冠军的概率大于为总冠军的概率.
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解题方法
2 . 已知抛物线
经过点
和
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，则（ ）
经过点和，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）A． 的焦点坐标为 | B．直线的斜率的取值范围是 |
C． 面积的最大值为32 | D． 的最大值为24 |
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解题方法
3 . 对集合
，定义其特征函数
，考虑集合
和正实数
，定义
为
和式函数.设
，则为闭区间列；如果集合对任意
，有
，则称
是无交集合列，设集合
.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，
是定义在
上的函数.已知存在唯一的正整数
，各项不同的非零实数
，和无交集合列
使得
，并且
，称
为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设
，证明：
；
（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设
为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.（i）设
，证明：；（ii）给定正整数
，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.
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名校
解题方法
4 . 已知点
是圆
的动点，过作
轴，
为垂足，且
，
，记动点，
的轨迹分别为
，
．
(1)证明：，有相同的离心率；
(2)若直线
与曲线交于
，，与曲线交于，
，与圆
交于
，
，当
时，试比较
与
的大小．
是圆的动点，过作轴，为垂足，且，，记动点，的轨迹分别为，．(1)证明：
，有相同的离心率；(2)若直线
与曲线交于，，与曲线交于，，与圆交于，，当时，试比较与的大小．
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2024-02-28更新
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349次组卷
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2卷引用：浙江省金华市2023-2024学年高三上学期2月期末考试数学试题
名校
5 . 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为
，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1)若
，求数学期望
；
(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为
，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数
的取值有关.团队A提出函数模型为
，团队B提出函数模型为
.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量
表示第
组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果
绘制成频数分布图，如图所示.
”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数
时使得概率
最大，称
是
的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：
.
只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立(1)若
，求数学期望；(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为
，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.
”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；（ⅱ）在统计学中，若参数
时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
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2024-02-23更新
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1518次组卷
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7卷引用：广东省深圳中学2023届高三5月适应性测试数学试题
6 . 设双曲线Γ:
，
，B，C在Γ上且直线
经过A.设
分别为Γ在B，C处的切线，点D满足
，则D的轨迹方程是___________ ;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是_____ .(写出1个即可).
，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线，点D满足，则D的轨迹方程是
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解题方法
7 . 信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，
，n，且
，
，定义X的信息熵
，则下列判断中正确的是（ ）
①若
，则
②若
，则
；
③若
，则当
时，
取得最大值
④若
，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且
，则
，n，且，，定义X的信息熵，则下列判断中正确的是（ ）①若
，则②若
，则；③若
，则当时，取得最大值④若
，随机变量Y所有可能的取值为1，2，，m，且，则| A．①② | B．②③ | C．①②④ | D．①②③④ |
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名校
解题方法
8 . 在平面直角坐标系
中，点
，点A为动点，以线段为直径的圆与
轴相切，记A的轨迹为
，直线交于另一点B．
(1)求的方程；
(2)
的外接圆交于点（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形
，记其面积为．
（i）证明：
的重心在定直线上；
（ii）求的取值范围．
中，点，点A为动点，以线段为直径的圆与轴相切，记A的轨迹为，直线交于另一点B．(1)求
的方程；(2)
的外接圆交于点（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形，记其面积为．（i）证明：
的重心在定直线上；（ii）求
的取值范围．
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2024-02-18更新
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1673次组卷
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3卷引用：2024届福建省厦门市一模考试数学试题
9 . 在各项均为正数的数列
中，
，
，
．
(1)证明数列
为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若
，记数列
的前n项和为
．
（i）求；（ii）证明：
．
中，，，．(1)证明数列
为等比数列，并求数列的通项公式；(2)若
，记数列的前n项和为．（i）求
；（ii）证明：．
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解题方法
10 . 设
为抛物线
的焦点，是抛物线的准线与
轴的交点，是抛物线
上一点，当
轴时，
．
(1)求抛物线的方程．
(2)
的延长线与的交点为，
的延长线与的交点为，点在与之间．
（i）证明：，两点关于轴对称．
（ii）记
的面积为，
的面积为，求
的取值范围．
为抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，当轴时，．(1)求抛物线
的方程．(2)
的延长线与的交点为，的延长线与的交点为，点在与之间．（i）证明：
，两点关于轴对称．（ii）记
的面积为，的面积为，求的取值范围．
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2024-02-05更新
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525次组卷
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3卷引用：河北省邢台市2024届高三上学期期末数学试题
