1 . 已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
(3)设
是函数的两个极值点，证明：
.
.(1)讨论函数
的单调性；(2)若函数
存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(3)设
是函数的两个极值点，证明：.
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2 . 对于函数
和
，设
，若存在
使得
，则称和互为“零点相邻函数”.设
，
，且和互为“零点相邻函数”.
(1)求
的取值范围；
(2)令
（
为的导函数），分析
与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若
，证明：
.
和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.(1)求
的取值范围；(2)令
（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；(3)若
，证明：.
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3 . 若函数在定义域区间
上连续，对任意
恒有
，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有
，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当
时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意
恒有
，若是下凸函数，则对任意恒有
，当且仅当
时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数
（
，
），
，
在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）
(2)利用（1）中的结论，在
中，求
的最大值；
(3)证明函数
是上凸函数．
在定义域区间上连续，对任意恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：(1)判断函数
（，），，在定义域上是上凸函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）(2)利用（1）中的结论，在
中，求的最大值；(3)证明函数
是上凸函数．
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4 . 已知函数
，其中
．
(1)当
时，判断的单调性；
(2)若存在两个极值点
．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）证明：
时，
．
，其中．(1)当
时，判断的单调性；(2)若
存在两个极值点．（ⅰ）证明：
；（ⅱ）证明：
时，．
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5 . 已知函数
(1)若函数在
内点
处的切线斜率为
，求点的坐标；
(2)①当
时，求
在
上的最小值；
②证明：
．
(1)若函数在
内点处的切线斜率为，求点的坐标；(2)①当
时，求在上的最小值；②证明：
．
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6 . 已知函数
．
(1)求在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求的值；
(3)求证：
．
．(1)求
在点处的切线方程；(2)若
恒成立，求的值；(3)求证：
．
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7 . 已知函数
，且
在
上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数
在区间
上的导函数为
，若
对任意实数
恒成立，则称函数在区间上具有性质
.
（i）求证：函数在
上具有性质；
（ii）记
，其中
，求证：
.
，且在上的最小值为0.(1)求实数
的取值范围；(2)设函数
在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.（i）求证：函数
在上具有性质；（ii）记
，其中，求证：.
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今日更新
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239次组卷
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3卷引用：江苏省南通市如皋中学2024届高三下学期高考适应性考试（三）（3.5模）数学试题
8 . 已知函数
．
(1)若
，求函数
在区间
上的最大值；
(2)若对于任意的
，
，都有
，则实数的取值范围．
．(1)若
，求函数在区间上的最大值；(2)若对于任意的
，，都有，则实数的取值范围．
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9 . 已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.
(1)证明：
时，
；
(2)求函数
在
内的零点个数；
(3)若
，求的取值范围.
，，其中为自然对数的底数.(1)证明：
时，；(2)求函数
在内的零点个数；(3)若
，求的取值范围.
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2024高三下·全国·专题练习
10 . 已知椭圆
椭圆的离心率
．左顶点为，下顶点为
是线段
的中点，其中
．
(1)求椭圆方程．
(2)过点
的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点
．在
轴上是否存在点
使得
为锐角？若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
椭圆的离心率．左顶点为，下顶点为是线段的中点，其中．(1)求椭圆方程．
(2)过点
的动直线（斜率存在）与椭圆有两个交点．在轴上是否存在点使得为锐角？若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
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