1 . 如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．

(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；
(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）

2 . 已知以为直径的半圆有一个内接正方形，其边长为1（如图）．设，作数列；求证：．

3 . 已知函数（m为实数）．
(1)m是什么数值时，y的极值是0？
(2)求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线上，画出时抛物线的草图，来检验这个结论；
(3)平行于的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等．

4 . 如图，是半圆的直径，C是半圆上一点，直线切半圆于C点，于M点，于N点，于D点，求证：

(1)；
(2)．

5 . 设．求证：
(1)如果的系数满足，那么恰好是一个二次三项式的平方；
(2)如果与表示同一个多项式，那么．

6 . 给定实数a，且，设函数（且）.证明：
(1)这个函数的图像上任意两个不同的点的直线不平行于轴；
(2)这个函数的图像关于直线成轴对称图形；

7 . 设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线．
(1)写出曲线的方程；
(2)证明：曲线C与关于点对称；
(3)如果曲线C与有且仅有一个公共点，证明：且．

8 . 设，给定数列，其中．求证：
(1)，且；
(2)如果，那么；
(3)如果，那么当时，必有．

9 . 设是一个已知圆的内接矩形，过作该圆的切线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点．求证：．

10 . 如图，是的延长线，与分别交于M点和N点，且．求证：，．