1 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的两个极值点分别为,证明:;
(3)设,求证:当时,有且仅有2个不同的零点.
(参考数据:)
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的两个极值点分别为,证明:;
(3)设,求证:当时,有且仅有2个不同的零点.
(参考数据:)
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解题方法
2 . 已知函数,
(1)若a=1,b=2,试分析和的单调性与极值;
(2)当a=b=1时,、的零点分别为,;,,从下面两个条件中任选一个证明.(若全选则按照第一个给分)
求证:①;
②.
(1)若a=1,b=2,试分析和的单调性与极值;
(2)当a=b=1时,、的零点分别为,;,,从下面两个条件中任选一个证明.(若全选则按照第一个给分)
求证:①;
②.
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解题方法
3 . 在钝角中,三个内角为A,B,C,满足.
(1)证明:是等腰三角形;
(2)若延长至D点,使得,且,求证:为定值.
(1)证明:是等腰三角形;
(2)若延长至D点,使得,且,求证:为定值.
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解题方法
4 . 如图,已知抛物线,其焦点为,其准线与轴交于点,以为直径的圆交抛物线于点,连接并延长交抛物线于点,且.(1)求的方程.
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点,若抛物线上存在点,,使得.求证:直线过定点.
(2)过点作轴的垂线与抛物线在第一象限交于点,若抛物线上存在点,,使得.求证:直线过定点.
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解题方法
5 . 已知直线和椭圆.
(1)证明:与恒有两个交点;
(2)若为与的两个交点,过原点且垂直于的直线交于两点,求的最小值.
(1)证明:与恒有两个交点;
(2)若为与的两个交点,过原点且垂直于的直线交于两点,求的最小值.
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解题方法
6 . 如图,动直线与抛物线:交于A,B两点,点C是以AB为直径的圆与的一个交点(不同于A,B),点C在AB上的投影为点M,直线为的一条切线.
(2)求与的内切圆半径之和的取值范围.
(1)证明:为定值;
(2)求与的内切圆半径之和的取值范围.
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7 . 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集,且满足以下条件:
①且;
②对任意的,存在唯一的,满足,其中,表示不超过y的最大整数;
③若,,则.
证明:
(1);
(2)对任意的,对每一个整数,都有;
(3).
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集,且满足以下条件:
①且;
②对任意的,存在唯一的,满足,其中,表示不超过y的最大整数;
③若,,则.
证明:
(1);
(2)对任意的,对每一个整数,都有;
(3).
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8 . 若函数在上满足且不恒为0,则称函数为区间上的绝对增函数,称为函数的特征函数,称任意的实数为绝对增点(为函数的导函数).
(1)若1为函数的绝对增点,求的取值范围;
(2)绝对增函数的特征函数的唯一零点为.
(ⅰ)证明:是的极值点;
(ⅱ)证明:不是绝对增函数.
(1)若1为函数的绝对增点,求的取值范围;
(2)绝对增函数的特征函数的唯一零点为.
(ⅰ)证明:是的极值点;
(ⅱ)证明:不是绝对增函数.
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解题方法
9 . 如图,,是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径,过的平面与交于点,若,点在圆上,.
(2)若,,求三棱锥的体积.
(1)求证:平面;
(2)若,,求三棱锥的体积.
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2024高三·全国·专题练习
10 . 掷一枚质地均匀的骰子,得分规则如下:若出现的点数为1,则得1分;若出现的点数为2或3,则得2分;若出现的点数为4或5或6,则得3分.
(1)记为连续掷这枚骰子2次的总得分,求的数学期望;
(2)现在将得分规则变更如下:若出现的点数为1或2,则得2分,其他情况都得1分.反复掷这枚骰子,设总得分为的概率为,证明:数列为等比数列.
(1)记为连续掷这枚骰子2次的总得分,求的数学期望;
(2)现在将得分规则变更如下:若出现的点数为1或2,则得2分,其他情况都得1分.反复掷这枚骰子,设总得分为的概率为,证明:数列为等比数列.
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