1 . 某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积（表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2）依然存在空隙（最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方）．若等径球的半径为，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为，则______．
   

2 . 定义运算“”满足:为从向量按逆时针方向到向量的夹角，向量垂直于所确定的平面，当时，其垂直平面的方向向上；当时，其垂直平面的方向向下，下列说法一定正确的有__________.（填序号）
①；②；③；④；⑤当时，；⑥.

3 . （1）如图，是直线上两点，在内的射影分别为两点，当直线满足条件______时，．
   
（2）在三棱锥中，当三条侧棱之间满足条件______时，有．

4 . 造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为__________.

   

5 . 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：

	甲	乙	丙
接单量t（单）	7831	8225	8338
油费s（元）	107150	110264	110376
平均每单里程k（公里）	15	15	15
平均每公里油费a（元）	0.7	0.7	0.7

出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则_______（精确到0.01）

6 . 下列结论正确的是______．
（1）的展开式中的系数为；
（2）被除的余数为；
（3）若，则；
（4）的展开式中第项的二项式系数为，且展开式中各项系数和为1024，则展开式中第6项的系数最大．

7 . 已知随机变量，其中，随机变量的分布列为

	0	1	2

表中，则的最大值为________．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时，________．

8 . 为落实好乡村振兴计划，某机关工会将李莉，王红等5名工作人员分配到3个乡村去指导工作，要保证每个乡村至少有一名工作人员做指导，其中李莉和王红必须在同一村指导工作，则不同的分配方案种数为______（用数字作答）.

9 . 已知，则_____________.

10 . 某厂家为了保证防寒服的质量，从生产的保暖絮片中随机抽取多组，得到每组纤维长度（单位：）的均值，并制成如下所示的频率分布直方图，由此估计其纤维长度均值的分位数是___________.