1 . 二次函数为实数，对任意的都有和恒成立.已知的函数图象与的图象有且只有一个公共点，这个公共点在第二象限.
(1)求证：；
(2)若的最小值为-10，求函数的解析式.

2 . 过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知．
(1)求点，的坐标；
(2)求数列的通项公式；
(3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：．

3 . 已知、是椭圆上两动点，为原点，定点，向量，在向量方向上的投影分别为，，且，动点满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)记点，，求证：无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数．

4 . 设函数为上的增函数，令．

(1)判断并证明在上的单调性；
(2)若，判断与2的大小关系并证明；
(3)若数列的通项公式为，试问是否存在正整数，使取得最值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 已知的值域为.
(1)求实数的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给出证明；
(3)若，求证.

6 . 已知函数，其中，为实数且.
(1)当时，根据定义证明在单调递增；
(2)求集合.

7 . 有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果.已知两区初始显示的分别是和，如图，第一次按键后，两区分别显示：

(1)从初始状态按2次后，分别求两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由.

8 . 实践操作：
第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平.
第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕交于点交于点，再把纸片展平.

问题解决：
(1)如图1，填空：四边形的形状是__________.
(2)如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
(3)如图2，若，求的值.

9 . 如图，点为中点，分别延长到点到点，使.以点为圆心，分别以为半径在上方作两个半圆.点为小半圆上任一点（不与点重合），连接并延长交大半圆于点，连接.

(1)①求证：；
②写出和三者间的数量关系，并说明理由.
(2)若，当最大时，直接指出与小半圆的位置关系，并求此时（答案保留）.

10 . 已知是整系数方程的一个无理根，求证：存在常数，使得对任意互质的正整数p，q，均有，