1 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，分别为的极大值点和极小值点，记，．
（ⅰ）证明：直线AB与曲线交于另一点C；
（ⅱ）在（i）的条件下，判断是否存在常数，使得．若存在，求n；若不存在，说明理由．
附：，．

2 . 若无穷数列的各项均为整数．且对于，，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，2，3，…；
②，，2，3，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，求数列的通项公式．

3 . （1）已知点和，求；
（2）已知的顶点为，，，求的周长．

4 . 天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；
(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；
(3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？

5 . 2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分布直方图：

其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．
(1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
(2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．
(3)现从样本中线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．

6 . 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．

(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；
(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；
(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．
附：方差．

7 . 1.2015年11月30日，习近平主席在巴黎气候大会的讲话中宣布：“中国将于明年启动在发展中国家开展10个低碳示范区，100个减缓和适应气候变化项目及1000个应对气候变化培训名额的合作项目.”某企业在国家科研部门的支持下，计划在国启动减缓气候变化项目，重点进行技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物转化为一种可利用的化工产品.已知该企业处理成本（亿元）与处理量（万吨）之间的函数关系可近似地表示为, 另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元.（附：投入总成本处理成本技术人员培训费试验区基建费，平均成本）
(1)当时，若计划在国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量的取值范围是多少？
(2)该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？