1 . 已知函数

(1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图；
(2)根据（1）的结果，若（），试猜想的值，并证明你的结论.

			1	2	4

2 . 已知.
(1)设，若关于的不等式的解集为，且的充分不必要条件是，求的取值范围；
(2)方程有两个实数根，
①若均大于，试求的取值范围；
②若，求实数的值．

3 . 中华传统文化的主要内容，从学术流派的角度，主要包括儒家、道家、佛家、诸子百家；从文化载体的角度，主要包括经、史、子、集；从日常生活的角度，主要包括传统民俗文化．为了弘扬中华传统文化，某市初中课后服务开设了中华传统文化专题兴趣小组，该市每学期均组织举办中华传统文化知识竞赛．竞赛规则是：该市属初中均组队参加，每队6人，平均分为3组参加“学术流派”、“文化载体”、“民俗文化”3类专项赛，专项赛的比赛赛制为：每所学校的两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知红心初级中学的张华与刘中两名同学一组，张华与刘中每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
(1)若，记张华在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若，且每轮比赛互不影响，若张华与刘中组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

4 . 飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:

性别	飞盘运动		合计
	不爱好	爱好
男	6	16	22
女	4	24	28
合计	10	40	50

(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.
附:，其中.

	0.1	0.01	0.001
	2.706	6.635	10.828

5 . 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.

6 . 已知函数，．
(1)若在上恒成立，求k的取值范围；
(2)设为图象上一点，为图象上一点，O为坐标原点，若∠AOB为锐角，证明：．

7 . 目前，我国近视患者人数多达亿，青少年近视率居世界第一，从宏观出发，为了民族的未来，从微现出发，为了青少年的健康，青少年的近视问题已经提升到国家战略层面．根据卫健委要求，某中学抽查了名学生的视力情况，按、、、、、分组，制作成如图所示的频率分布直方图．

(1)为了作进一步的调查，从视力在内的学生中随机抽取人，若已知其中有两人的视力落在内，求另外四人视力均落在内的概率；
(2)用样本频率估计总体，从全校学生中随机抽取两名学生，记视力落在区间内的人数为，落在区间内的人数为，试求的值．

8 . 作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．

(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．

9 . chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.
第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取<prompt，answer>数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.
第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且.
第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.
参考数据：
(1)若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.
(2)绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某阶变量的绝对值误差，，其中，表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是，现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差为定值.
(3)在测试chatGPT时，如果输入问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.

10 . 已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点分别做轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.
(1)求该椭圆的离心率.
(2)若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，双曲线的焦点为与的一个公共点，记，，求的值.